Lý thuyết: Quan hệ chia hết và tính chất

💠 Quan hệ chia hết

Cho hai số tự nhiên \(a\)\(b\), trong đó \( b \neq 0 \), nếu có số tự nhiên \(x\) sao cho \(b.x=a\) thì ta nói \(a\) chia hết cho \(b\).

Khi đó ta kí hiệu  \(a \phantom{3} \vdots \phantom{3} b\)

Nếu \(a\) không chia hết cho \(b\), ta kí hiệu \(a\phantom{3}\not{\vdots}  \phantom{3} b\)

Ví dụ 1:

\(4 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 2\)

\(5 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 2\)


💠 Ước và bội

Nếu số tự nhiên \(a\) chia hết cho số tự nhiên \(b\) thì ta nói \(a\) là bội của \(b\), còn \(b\) gọi là ước của \(a.\)

Kí hiệu \(B(a)\) là tập hợp các bội của a, \(Ư(a)\) là tập hợp các ước của a.

Ví dụ 2:

\(8\) là bội của \(2\)\(8\) chia hết cho \(2\).
\(8\) không phải là bội của \(3\) vì \(8\) không chia hết cho \(3\).
\(90\) là bội của \(5\)\(90\) chia hết cho \(5\) (chữ số tận cùng là \(0)\).
\(6\) không phải là ước của \(20\)\(20\) không chia hết cho \(6\).

💠 Cách tìm ước và bội

Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; 3; ...

Ví dụ 3: 

    • Để tìm các bội của \(5\), ta nhân \(5\) lần lượt với \(0; 1; 2; 3; ...\)

Từ đó, các bội của \(5\) là: \(0; 5; 10; 15; 20; 25; ...\)

    • Để tìm các bội của \(1\), ta nhân \(1\) lần lượt với \(0; 1; 2; 3; ...\)

Từ đó, các bội của \(1\) là:  \(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...\)

Ví dụ 4:  Có bao nhiêu số tự nhiên \(x\) thuộc tập \(B(3)\)\(x<16\)?

Ta sẽ đi tìm các bội của \(3\) và thêm điều kiện nhỏ hơn \(16\)

Để tìm các bội của \(3\), ta nhân \(3\) lần lượt với  \(0; 1; 2; 3; ...\)

Từ đó ta có tập các bội của \(3\) là: \(B(3)=\{0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; ...\} \)

Các số thỏa mãn điều kiện  \(x<16\) là:  \( 0; 3; 6; 9; 12; 15.\)

Như vậy có 6 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có thể tìm các ước của a (a>1) bằng cách lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.

Ví dụ 5:

Để tìm các ước của \(9\), ta lấy \(9\) chia lần lượt cho các số từ \(1\) đến \(9\)

Do \(9\) chỉ chia hết cho \(1; 3; 9\) nên tập hợp các ước của \(9\) là: \( Ư(9)=\{1; 3; 9\} \)

Ví dụ 6: Tìm số phần tử của tập \( Ư(24)\)?

Để tìm các ước của \(24\), ta lấy \(24\) chia lần lượt cho \(0; 1; 2; 3;4; ...; 24\). Từ đó ta có \( Ư(24)=\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\).

Như vậy tập \( Ư(24)\)\(8\) phần tử


💠 Tính chất chia hết của một tổng

Tính chất 1

\( \boxed{a\  \vdots  \phantom{3} m \text{ và } b \phantom{3} \vdots \phantom{3} m  \Rightarrow  (a+b) \phantom{3} \vdots \phantom{3} m }\)

Trong đó: \(a, b, m \in \mathbb{N}, m \neq 0\)

🔹 Với \(a \geq b\), tính chất cũng đúng với một hiệu

\( \boxed{a \phantom{3} \vdots \phantom{3} m \text{ và } b \phantom{3} \vdots \phantom{3} m \Rightarrow  (a-b) \phantom{3} \vdots \phantom{3} m}\)

Ví dụ 7:

\( \left.\begin{matrix}  6 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3 \\  9 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3  \end{matrix}\right\} \) \( \Rightarrow (6+9=15) \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3 \)

\( \left.\begin{matrix}  9 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3 \\  6 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3  \end{matrix}\right\} \) \( \Rightarrow (9-6=3) \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3 \)

🔹 Tính chất 1 cũng đúng với tổng có nhiều số hạng

\( \boxed{a \phantom{3} \vdots \phantom{3} m, b \phantom{3} \vdots \phantom{3} m \text{ và } c \phantom{3} \vdots \phantom{3} m  \Rightarrow  (a+b+c) \phantom{3} \vdots \phantom{3} m }\)

Ví dụ 8:

\( \left.\begin{matrix}  6 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3 \\  9 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3 \\  12 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3  \end{matrix}\right\} \) \( \Rightarrow (6+9+12=27) \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3 \)


Tính chất 2

\( \boxed{a \phantom{3} \vdots \phantom{3} m  \text{ và } b \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} m \Rightarrow  (a+b) \phantom{3}\not{\vdots} \phantom{3} m }\)

Ví dụ 9:

\( \left.\begin{matrix}  6 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3 \\  8 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 3  \end{matrix}\right\} \) \( \Rightarrow (6+8=14) \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 3 \)

\( \left.\begin{matrix}  15 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 5 \\  9 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 5  \end{matrix}\right\} \) \( \Rightarrow (15+9=24) \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 5 \)

🔹 Với \(a \geq b\), tính chất cũng đúng với một hiệu

\( \boxed{a \phantom{3} \vdots \phantom{3} m  \text{ và } b \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} m  \Rightarrow (a-b) \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} m }\)

Ví dụ 10:

\( \left.\begin{matrix}  12 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3 \\  7 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 3  \end{matrix}\right\} \) \( \Rightarrow (12-7=5) \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 3 \)


🔹 Tính chất 1 cũng đúng với tổng có nhiều số hạng, trong đó chỉ có một số hạng không chia hết cho \(m\), các số hạng còn lại chia hết cho \(m\):

\( \boxed{a \phantom{3} \vdots \phantom{3} m, b \phantom{3} \vdots \phantom{3} m  \text{ và } c\phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} m \Rightarrow  (a+b+c) \phantom{3}\not{\vdots} \phantom{3} m }\)

Ví dụ 11:

\( \left.\begin{matrix}  8 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 4 \\  12 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 4 \\ 5 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 4  \end{matrix}\right\} \) \( \Rightarrow (8+12+5=25) \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 4 \)

Ví dụ 12:

Tổng \(80+75 \not{\vdots} 10\)  vì  \(80 \vdots 10\)  nhưng  \(75 \not{\vdots} 10\)

⚠ Chú ý

Tính chất không chia hết của một tổng chỉ đúng trong trường hợp tổng chỉ có duy nhất một số hạng không chia hết cho \(m\), nếu có từ hai số hạng không chia hết cho \(m\) trở lên thì ta không thể kết luận tổng không chia hết cho \(m\).

Ví dụ 13: Xét tổng \(5+20+9\)

\( \left.\begin{matrix}  5 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 5 \\  20 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 5  \\  9 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 5 \end{matrix}\right\} \) \( \Rightarrow 5+20+9=34 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 5 \)

Tuy nhiên, xét tổng: \(5+21+9\)

\( \left.\begin{matrix}  5 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 5 \\  21 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 5  \\  9 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 5 \end{matrix}\right\} \) nhưng \( 5+21+9=35 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 5 \)

Xét tổng: \(4+7+10\)

\( \left.\begin{matrix}  4 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 3 \\  7  \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 3  \\  10 \phantom{3} \not{\vdots} \phantom{3} 3 \end{matrix}\right\} \) nhưng \( 4+7+10=21 \phantom{3} \vdots \phantom{3} 3 \)


Sửa lần cuối: Tuesday, 14 September 2021, 11:08 AM