Chuyển đến nội dung chính

Lý thuyết: Ước chung. Ước chung lớn nhất

💠 Ước chung

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ví dụ1:

Ư\((30)=\{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}\)

Ư\((35)=\{1; 5; 7; 35\} \)

Các số \(1\)\(5\) vừa là ước của \(30\), vừa là ước của \(35\). Ta nói chúng là ước chung của \(30\) \(35\).

Kí hiệu tập hợp các ước chung của \(30\)\(35\) là ƯC\((30, 35)\), ta có:

ƯC\((30, 35)=\{1; 5\} \)

Ví dụ 2:

\(5 \in\) ƯC\((45, 70)\) vì  \(45\ \vdots\ 5\)\(70\ \vdots\ 5 \)

\(5 \notin\) ƯC\((45, 70, 61)\) vì  \(61 \not{\vdots}\ 5\)


💠 Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó

Ví dụ 3: Tìm ước chung lớn nhất của \(28; 30; 36\).

\(Ư(30)=\{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}\)
\(Ư(36)=\{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}\)
\(Ư(28)=\{1; 2; 4; 7; 14; 28\}\)

Từ đó, ƯC\((28, 30, 36)=\{1; 2\}\)

Số lớn nhất trong tập này là \(2\). Do đó, ta nói \(2\) ước chung lớn nhất (ƯCLN) của \(28, 30\) \(36\).

Kí hiệu ƯCLN\((28, 30, 36)=2\)


💠 Cách tìm ước chung lớn nhất

Ta thường tìm ƯCLN của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số đó ra thành tích của các thừa số nguyên tố. Cụ thể như sau:

1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

2. Chọn các thừa số nguyên tố chung

3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm

Ví dụ 4: Tìm ƯCLN của \(126\)\(180\).

Bước 1. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

\(126=2.3^2.7\)

\(180=2^2.3^2.5\)

Bước 2. Tìm các thừa số nguyên tố chung


Bước 3. Lập tích các thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất của nó.


Số \(18\) chính là ước chung lớn nhất của \(126\) \(180,\) ta có ƯCLN\((126, 180)=18\)

Ví dụ 5:  Tìm ƯCLN\((4200,3780,3528)\) 

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

\(\begin{align} 4200 &= 2^3 \cdot 3^{\phantom 1} \cdot 5^2 \cdot 7 \\ 3780 &= 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{\phantom 1} \cdot 7 \\ 3528 &= 2^3 \cdot 3^2 \ \ \phantom{\cdot 5^0} \cdot 7^2. \end{align}\)

Lập tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất ta có ƯCLN

\( 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \)


💠 Hai số nguyên tố cùng nhau

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.

Ví dụ 6: Hai số \(7\)\(8\) nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN\((7, 8)=1\).


💠 Phân số tối giản

Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Chú ý: ƯCLN\((a, b)\) chính là số cần tìm để rút gọn phân số \( \dfrac{a}{b} \).

✍ Ví dụ 7: Rút gọn phân số \( \dfrac{126}{180} \)

Ta tìm được ƯCLN\((126, 180)=18\) theo ví dụ 3.

Chia cả tử và mẫu cho 18, ta được:

 \( \dfrac{126}{180} = \dfrac{126:18}{180:18}= \dfrac{7}{10}\)

\( \dfrac{7}{10}\) là phân số tối giản.


🚀 Hoạt động tương tác
Sửa lần cuối: Tuesday, 14 September 2021, 11:11 AM