Chuyển đến nội dung chính

Lý thuyết: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

🚀 Bài toán khởi động

💠 Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội chung của tất cả các số đó

Ví dụ 1:

\(B(4)=\{0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; ...\}\)

\(B(6)=\{0; 6; 12; 18; 24; 30 ...\}\)

Các số \(0, 12, 24, ...\) vừa là bội của \(4\), vừa là bội của \(6\). Ta nói chúng là các bội chung của \(4\)\(6\).

Kí hiệu BC\((4, 6)\) là tập hợp các bội chung của \(4\) và \(6\) , khi đó

BC\((4, 6)=\{0; 12; 24; ...\} \)

✍ Ví dụ 2:

\(60 \in\) BC\((5, 6)\) vì  \(60\ \vdots\ 5\)\(60\ \vdots\ 6 \)

\(60 \notin\) BC\((5, 6, 7)\) vì  \(61 \not{\vdots}\ 7\)


💠 Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó

✍ Ví dụ 3: Tìm bội chung nhỏ nhất của 3 và 5

 \(B(3)=\{0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21, 24, 27, 30; ...\}\)

 \(B(5)=\{0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; ...\}\)

Từ đó ta có \(BC(3, 5)=\{0; 15; 30; ... \}\).

Số khác 0 nhỏ nhất trong tập \(BC(3, 5)\) \(15\). Ta nói \(15\)bội chung nhỏ nhất (BCNN) của \(3\) \(5\).

Kí hiệu BCNN\((3, 5)=15\).

Ta có thể hiểu đơn giản, BCNN của \(3\) và \(5\) chính là số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất vừa chia hết cho \(3\), vừa chia hết cho \(5\).


💠 Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Ta thường tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 bằng cách phân tích các số đó ra thành tích của các thừa số nguyên tố. Cụ thể như sau:

1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng

3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với sô mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm

✍ Ví dụ 4: Tìm BCNN của 12 và 10

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

\(12=2^2.3\)

\(10=2.5\)

Bước 2: Tìm các thừa số nguyên tố chung và riêng


Bước 3: Lập tích các thừa số nguyên tố chung và riêng, mỗi thừa số lấy số mũ cao nhất của nó.


Số 60 chính là  bội chung nhỏ nhất của 10 và 12,  BCNN\((10, 12)=60\)

✍ Ví dụ 5:  Tìm BCNN\((6, 15, 18)\) 

\(\begin{align} 6 &= 2\ .\ 3 \\ 15 &= \phantom{\cdot 2^0} \  3\ .\ 5\\ 18 &=2\ .\ 3^2  \end{align}\)

Lập tích các thừa số chung và riêng với số mũ cao nhất ta có BCNN

\( 2\ .\ 3^2\ .\ 5 = 90 \)


🎯 Nhận xét
  • Tất cả các bội chung của \(a\)\(b\) đều là bội của BCNN\((a, b)\)
  • Mọi số tự nhiên đều là bội của 1, do đó với mọi số tự nhiên \(a\)\(b\) lớn hơn 1, ta luôn có:

BCNN\((a, 1)=a\) , BCNN\((a, b, 1)=\)BCNN\((a, b)\)

  • Nếu các số đã cho từng đội một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.
✍ Ví dụ 6:  \(7, 8\)\(9\) là các số nguyên tố cùng nhau nên BCNN\((7, 8, 9)=7.8.9=504\)

  • Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho là số lớn nhất ấy.

✍ Ví dụ 7:  BCNN\((5, 15)=15\)\(15\) là bội của \(5\).


💠 Ứng dụng bội chung nhỏ nhất để quy đồng mẫu các phân số

Để quy đồng mẫu hai phân số \( \dfrac{a}{b}\) và \( \dfrac{c}{d}\), ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu.

Mẫu chung = BCNN\((b, d)\).

✍ Ví dụ 8:

 Tính \( \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{12} \)

Ta tìm được BCNN\((10, 12)=60\) theo Ví dụ 3.

60 chính là mẫu số chung cho cả hai phân số.

\( \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{12} =\dfrac{1.6}{10.6} + \dfrac{1.5}{12.5}=\dfrac{6}{60} + \dfrac{5}{60}=\dfrac{11}{60}\)

Sửa lần cuối: Tuesday, 14 September 2021, 11:12 AM