Hình thoi


Định nghĩa

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi   \(\Leftrightarrow\)   \(AB=BC=CD=AD\).


Xét hình thoi \(ABCD\).

Do \(AB=BC=CD=AD\) các cạnh đối của \(ABCD\) là bằng nhau. 

Từ đó theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, ta kết luận được hình thoi \(ABCD\) cũng là một hình bình hành.


Tính chất

Định lí:

Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau

b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.


Giả thiết: \(ABCD\) là hình thoi

Kết luận:  \(AC \perp BD\)

\(AC\) là đường phân giác của góc \(A\)

\(BD\) là đường phân giác của góc \(B\)

\(CA\) là đường phân giác của góc \(C\)

\(DB\) là đường phân giác của góc \(D\)

Chứng minh

Theo nhận xét trước, \(ABCD\) cũng là một hình bình hành, nên hai đường chéo \(AC\)\(BD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo, khi đó ta có \(AO=OC\).

Xét tam giác \(ABC\) ta có:

\(AB=BC\)

BO là đường trung tuyến (vì \(AO=OC\)).

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) và có \(BO\) là đường trung tuyến, do đó nó cũng là đường cao và đường phân giác ứng với đỉnh \(B\).

Vậy \(AO \perp BC\)\(BO\) là đường phân giác của góc \(A\).

Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự. \(\square\)


Dấu hiệu nhận biết


Để biết một tứ giác có phải là hình thoi hay không, chúng ta có thể sử dụng một trong bốn dấu hiệu sau:

1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

3. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

4. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.