Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Định nghĩa

Giá trị tuyệt đối là khái niệm toán học dùng để chỉ giá trị của một biến mà không tính đến dấu của chúng. Như vậy, giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó, còn giá trị tuyệt đối của một số âm là số đó nhưng không tính dấu trừ.


Ta có định nghĩa cụ thể cho giá trị tuyệt đối của một số.

Định nghĩa:

Giá trị tuyệt đối của số \(a,\) kí hiệu là \(|a|,\) được định nghĩa như sau:

\( |a|= \left\{\begin{array}{ll}  a\ \text{khi}\ a \geq 0; \\ -a\ \text{khi}\ a<0. \end{array} \right.\)

Giá trị tuyệt đối của một số có thể hiểu là khoảng cách từ số đó đến số \(0\) trên trục số. Do đó giá trị tuyệt đối của \(a\) luôn là một số không âm.


Với biểu thức \(f(x),\) ta cũng có:

\( |f(x)|= \left\{\begin{array}{ll} f(x)\ \text{khi}\ f(x) \geq 0; \\ -f(x)\ \text{khi}\ f(x)<0. \end{array} \right.\)


Tính chất

Từ định nghĩa trên ta có một số tính chất: với mọi số thực \(a,\ b\) ta có:

1) \(|a| \geq 0\) (tính không âm)

2) \(|a|=0 \Leftrightarrow a=0\) 

3) Nếu \(|a|=b\) thì \(a=b\) hoặc \(a=-b\)

4) \(|a.b|=|a|.|b|\)

Các tính chất trên cũng đúng với biểu thức \(f(x).\)


Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Định nghĩa:

 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

a) \(|x|=3\)  (ẩn \(x\)

b) \(1+|y-1|=0\)  (ẩn \(y\) )

c) \(|t|+|2t-1|=3\)  (ẩn \(t\) )

 

Một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đặc biệt

Trong phạm vi của lớp 8, chúng ta chỉ quan tâm tới ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:

a) Phương trình dạng \(|f(x)|=a; (a>0).\)

Phương pháp giải: Ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để \(f(x)\) xác định (nếu cần).

Bước 2: Khi đó:

\(|f(x)|=a  \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} f(x)=a \\ f(x)=-a \end{array} \right.\)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó kết luận nghiệm cho phương trình.

Ví dụ 2: Giải phương trình \(|x+1|=2.\)

Lời giải:


Ta có thể trình bày lời giải như sau:

\(2>0\) nên ta có: 

\(|x+1|=2\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x+1=2 \\ x+1=-2 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=2-1 \\ x=-2-1 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=1 \\ x=-3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x=1;\ x=-3.\)


b) Phương trình dạng \(|f(x)|= |g(x)|.\)

Phương pháp giải: Ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để \(f(x)\) xác định (nếu cần).

Bước 2: Khi đó:

\(|f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} f(x)=g(x) \\ f(x)=- g(x) \end{array} \right.\)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó kết luận nghiệm cho phương trình.

Ví dụ 3: Giải phương trình \(|x-3|=|2+2x|.\)

Lời giải:

Ta có:

\(|x-3|=|2+2x|\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x-3=2+2x \\ x-3=-(2+2x)  \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x-2x=2+3 \\ x-3=-2-2x  \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} -x=5 \\ x+2x=-2+3  \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=-5 \\ 3x=1  \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=-5 \\ x=\dfrac{1}{3}  \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x=-5;\ x=\dfrac{1}{3}.\)


c) Phương trình dạng \(|f(x)|=g(x).\)

Phương pháp giải: Ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để \(f(x)\) xác định (nếu cần) và điều kiện \(g(x) \geq 0.\)

Bước 2: Khi đó:

\(|f(x)|=g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} f(x)=g(x) \\ f(x)=- g(x) \end{array} \right.\)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó kết luận nghiệm cho phương trình.

Ví dụ 4: Giải phương trình \(|x+4|=2x.\)

Lời giải:

Điều kiện: \(2x \geq 0 \Leftrightarrow x\geq 0\ (*).\)

Ta có:

\(|x+4|=2x\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x+4=2x \\ x+4=- 2x \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x-2x=-4 \\ x+2x=-4 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} -x=-4 \\ 3x=-4 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=4 \\ x=\dfrac{-4}{3} \end{array} \right.\)

\(x=\dfrac{-4}{3} <0\) không thỏa mãn điều kiện \((*)\) nên loại.

\(x=4>0\) thỏa mãn điều kiện \((*)\) nên lấy \(x=4\) làm nghiệm.

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất \(x=4.\)