Lý thuyết: Phép nhân đa thức - Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Phép nhân đa thức - Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Rút gọn biểu thức [edit]

Phương pháp:

Sử dụng một số quy tắc: quy tắc nhân đơn thức với đa thức, quy tắc nhân đa thức với đa thức, các phép tính về lũy thừa và bảy hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

- Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: \(A.(B+C)=A.B+A.C\)
- Quy tắc nhân đa thức với đa thức: \((A+B)(C+D)=A.C+B.C+A.D+B.D\)

- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức [edit]

Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc biến đổi và hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

Dạng 3: Bài toán tìm \(x\) [edit]

- Sử dụng các phép biến đổi đưa đẳng thức về dạng \(ax=b\ \ (1)\).

- Khi đó ta có các trường hợp sau:

+) Nếu \(a=b=0\) thì \((1)\) có vô số giá trị của \(x\) thỏa mãn.

+) Nếu \(a=0,\ b \neq 0\) thì không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn \((1)\).

+) Nếu \(a \neq 0\) thì có một giá trị duy nhất của \(x\) thỏa mãn là: \(x =\dfrac{b}{a}.\)

Dạng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất [edit]

Phương pháp:

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức \(P\) ta sử dụng hai hằng đẳng thức:

\(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\)

\(A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\)

Đưa biểu thức về các dạng sau:

\(a)\) \(P=\left[ f(x)\right]^2+a\) với \(f(x)\) là biểu thức có chứa biến \(x\)\(a\) là hằng số.

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có: \(\left[ f(x)\right]^2 \geq 0\) \(\Leftrightarrow \left[ f(x)\right]^2 +a \geq a.\)

Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \(a\) khi \(f(x)=0\).

Dấu "=" xảy ra  khi và chỉ khi \(f(x)=0.\)

\(b)\) \(P= - \left[ g(x)\right]^2+b\) với \(g(x)\) là biểu thức có chứa biến \(x\)\(a\) là hằng số.

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có: \(- \left[ g(x)\right]^2 \leq 0\) \(\Leftrightarrow -\left[ g(x)\right]^2 +b \leq b.\)

Khi đó giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(b\) khi \(g(x)=0\).

Dấu "=" xảy ra  khi và chỉ khi \(g(x)=0.\)

Dạng 5: Ứng dụng vào số học [edit]

Để giải bài toán ứng dụng vào số học, ta cần đển một số kiến thức sau:

- Phép chia hết:  Với \(a,\ b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0\), ta nói \(a\) chia hết cho \(b\) nếu có số nguyên \(q\) sao cho: \(a=b.q\). Kí hiệu \(a\ \vdots\ b\).

- Phép chia hết có tính chất bắc cầu: Nếu \(a\ \vdots\ b\)\(b\ \vdots\ c\) thì \(a\ \vdots\ c.\) 

- Một số định lí về chia hết:

+) Nếu \(a\ \vdots\ m\)\(b\ \vdots\ m\) thì \(a \pm b\ \vdots\ m\).

+) Nếu \(a\ \vdots\ m\)\(b\ \not{\vdots}\ m\) thì \(a \pm b\ \not{\vdots}\  m\).

+) Nếu \(a\ \vdots\ m\)\(b\ \vdots\ m\) thì \(ab\ \vdots\ m\).

+) Nếu \(a\ \vdots\ b\) thì \(a^n\  \vdots\ b^n\).

 +) Nếu \(a\ \vdots\ m\)\(a\ \vdots\ n\)\((m,n)=1\) thì \(a\ \vdots\ mn\).

+) Nếu \(ab\ \vdots\ m\)\((a,m)=1\) thì \(b\ \vdots\ m\).