Lý thuyết: Hệ thức lượng trong tam giác vuông


Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Dạng 1. Giải tam giác vuông (Tính độ dài đoạn thẳng, số đo một góc trong tam giác vuông) [edit]

Phương pháp giải:

- Xác định cạnh huyền.

- Sử dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

- Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

- Định nghĩa của các tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Chú ý:

Trong một số bài, ta cần:

- Vẽ thêm một đường cao để vận dụng hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông.

- Chứng minh tam giác vuông nhờ sử dụng định lí Pitago.

Bộ ba số nguyên dương (a, b, c) thỏa mãn hệ thức Pitago gọi là bộ ba số Pitago. Người ta cũng nói (a, b, c) là một tam giác Pitago.

Ví dụ: (3, 4, 5) là bộ ba số Pitago.

Có vô số bộ ba số Pitago, chẳng hạn:

(3, 4, 5); (5, 12, 13); (7, 24, 25); (8, 15, 17); (20, 21, 29);…

Nếu (a, b, c) là bộ ba số Pitago thì (at, bt, ct) với t \in \mathbb{N^*} cũng là bộ ba số Pitago, chẳng hạn:

(6, 8, 10); (9, 12, 15); (15, 20, 25); (10, 24, 26); (14. 48, 50);…

Dạng 2. Chứng minh các hệ thức hình học [edit]

Phương pháp giải:

Bước 1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.

Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ các hệ thức về cạnh và đường cao hoặc hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Bước 3. Liên kết các giá trị trên rút ra hệ thức cần chứng minh.

Dạng 3. Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn [edit]

Phương pháp giải:

- Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền, viết tỉ số lượng giác theo định nghĩa.

- Tính cạnh còn lại nhờ định lí Pitago hoặc các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

- Tính tỉ số lượng giác còn lại theo định nghĩa của các tỉ số lượng giác và định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

Chú ý:

Vì độ dài các cạnh trong một tam giác vuông đều dương và hai cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền nên \(0<\sin\alpha<1;\ 0<\cos\alpha<1;\ \tan\alpha>0;\ \cot\alpha>0\)

Dạng 4. Tính giá trị của biểu thức lượng giác mà không dùng bảng số hoặc máy tính
[edit]

Phương pháp giải:

- Căn cứ vào bảng giá trị các tỉ số lượng giác của các góc \(30^o; 45^o; 60^o\)

- Sử dụng định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

- Sử dụng một số công thức lượng giác đặc biệt.

Dạng 5. Chứng minh hệ thức lượng giác [edit]

Phương pháp giải:

- Tính tỉ số lượng giác theo định nghĩa.

- Nhân hay chia theo vế các tỉ số lượng giác

- Áp dụng định lí Pitago.

Dạng 6. Các bài toán thực tế về các tỉ số lượng giác của góc nhọn [edit]

Phương pháp giải:

Bước 1. Vẽ hình, chuyển bài toán thực tế về bài toán toán học

Bước 2. Xác định khoảng cách, chiều cao và các đối tượng cần tìm.

Bước 3. Áp dụng định lí Pitago, hệ thức giữa các cạnh và các góc của tam giác vuông.