Lý thuyết: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

\( \boxed{ \begin{align} (A+B)^2&=A^2+2AB+B^2 \\ (A-B)^2&=A^2-2AB+B^2 \\ A^2-B^2&=(A+B)(A-B) \\ A^3+B^3&=(A+B)(A^2-AB+B^2) \\ A^3-B^3&=(A-B)(A^2+AB+B^2) \\ (A+B)^3&=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 \\ (A-B)^3&=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3 \end{align} }\)


Bình phương của một tổng [edit]

\( \boxed{(A+B)^2=A^2+2AB+B^2  }\)

Chứng minh:

Ta có: 

\( (A+B)^2=(A+B).(A+B)=A^2+AB+BA+B^2=  A^2+2AB+B^2\).


Bình phương của một hiệu [edit]

\( \boxed{(A-B)^2=A^2-2AB+B^2  }\)

Chứng minh:

Ta có: 

\((A-B)^2=(A-B)(A-B)=A^2-AB-BA+B^2=  A^2-2AB+B^2\).


Hiệu hai bình phương [edit]

\( \boxed{A^2-B^2=(A+B)(A-B)  }\)

Chứng minh:

Ta có: 

\((A+B)(A-B)=A.A-AB+BA-B.B=A^2-B^2\).


Tổng hai lập phương [edit]

\( \boxed{A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)  }\)

Chứng minh:

Ta có: 

\( \begin{align}(A+B)(A^2-AB+B^2)&=A^3-A^2B+AB^2+A^2B-AB^2+B^3 \\ &=A^3+B^3 \end{align}\)

Hiệu hai lập phương [edit]

\( \boxed{A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)  }\)

Chứng minh:

Ta có: 

\( \begin{align}(A-B)(A^2+AB+B^2)&=A^3+A^2B+AB^2-A^2B-AB^2-B^3 \\ &=A^3-B^3 \end{align}\)

Lập phương của một tổng [edit]

\( \boxed{(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3  }\)

Chứng minh:

Ta có: 

\( \begin{align}(A+B)^3 &=(A+B)(A+B)^2 \\ &=(A+B)(A^2+2AB+B^2) \\ &=A^3+2A^2B+AB^2+BA^2+2AB^2+B^3  \\ &= A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 \end{align}\)

Lập phương của một hiệu [edit]

\( \boxed{(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3  }\)

Chứng minh:

Ta có: 

\( \begin{align}(A-B)^3 &=(A-B)(A-B)^2 \\ &=(A-B)(A^2-2AB+B^2) \\ &=A^3-2A^2B+AB^2-BA^2+2AB^2-B^3  \\ &= A^3-3A^2B+3AB^2-B^3 \end{align}\)


Các hệ thức liên quan

1. \((A+B+C)^3=A^3+B^3+C^3+3(A+B)(B+C)(C+A)\)

2. \(A^3+B^3+C^3-3ABC=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)\)

3. \((A-B-C)^2=A^2+B^2+C^2-2AB+2BC-2CA\)

4. \((A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2CA\)

5. \((A+B-C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB-2BC-2CA\)


Ví dụ

Ví dụ 1:

Nếu \(a+b=8\)\(ab=13\) thì giá trị của biểu thức \(a^3+b^3\) bằng bao nhiêu?

Giải:

Bài toán này hoàn toàn có thể được giải quyết bằng cách tính trực tiếp các giá trị \(a\)\(b\) từ các điều kiện giả thiết, sau đó thay vào biểu thức \(a^3+b^3\) để có kết quả. 

Nếu nhận xét nhanh, ta thấy \(ab=13\), mà \(13\) là số nguyên tố, trong khi \(a+b=8\) nên \(a\)\(b\) không thể nhận giá trị nguyên. Do vậy việc tính toán khá rườm rà. Tuy nhiên, bằng việc sử dụng hằng đẳng thức, ta có cách giải đẹp hơn như sau:

Ta đã biết: 

\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

Rút \(a^3+b^3\) từ VP ta có:

\( \begin{align} a^3+b^3&=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2 \\ &=(a+b)^3-3ab(a+b) \end{align}\)

Thay \(a+b=8\)\(ab=13\) vào biểu thức vừa nhận được, ta có:

\( \begin{align} a^3+b^3&=(a+b)^3-3ab(a+b) \\ &=8^3-3.13.8 \\ &=200 \end{align}\)