Lý thuyết: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử [edit]

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ 1:

Cho đa thức: \(x^2-2x\).

Ta biến đổi đa thức trên lại như sau:

\(x^2-2x=x.x-2.x=x(x-2)\).

Như vậy ta đã biến đổi đa thức \(x^2-2x\) về thành một tích của hai đa thức khác là \(x\)\((x-2)\).

Ví dụ 2:

Phân tích đa thức \(x^2-4x+4\) thành nhân tử.

Giải:

Xét đa thức \(x^2-4x+4\).

Ta viết lại:

\(x^2-4x+4=x^2-2.2.x+2^2\)

Nhận xét rằng đa thức có dạng hằng đẳng thức \((A-B)^2\), nên ta viết lại:

\(x^2-4x+4=x^2-2.2.x+2^2=(x-2)^2\).

Như vậy ta đã phân tích đa thức \(x^2-4x+4\) thành nhân tử \((x-2)^2\).


Phương pháp đặt nhân tử chung [edit]

\(A.B+A.C-A.D=A.(B+C-D)\)

trong đó, \(A, B, C, D\) là các đơn thức hoặc đa thức.

Ví dụ 3:

Phân tích đa thức \(4x^3-8x\) thành nhân tử.

Giải:

Ta đi tìm các thành phần chung của các hạng tử, sau đó đặt chúng làm nhận tử chung.

Ta có: \(4x^3-8x=4.x.x-4.x.2\)

Nhận xét cả hai hạng tử đều chứa \(4x\), do đó ta biến đổi lại:

 \(4x^3-8x=4.x.x-4.x.2=4x(x-2)\)

Ví dụ 4:

Phân tích đa thức \(2x(y-z)-7y(z-y)\) thành nhân tử.

Giải:

Ta nhận xét, thành phần \((y-z)\)\((z-y)\) ở hai hạng tử có vẻ giống nhau, nhưng chúng khác dấu. Từ đó, muốn chúng giống nhau để đặt làm nhân tử chung, ta cần đổi dấu.

Ta có:

\(2x(y-z)-7y(z-y)=2x(y-z)+7y(y-z)=(y-z)(2x+7y)\).


Phương pháp dùng hằng đẳng thức [edit]

Sử dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ cũng là một phương pháp phổ biến để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ví dụ 5:

Phân tích đa thức \(4x^2+12x+9\) thành nhân tử.

Giải:

Bằng cách nhận xét \(4x^2=(2x)^2\)\(9=3^3\), ta có:

\(\begin{align} 4x^2+12x+9&=(2x)^2+2.2x.3+3^2\\ &=(2x+3)^2\end{align}\).

Ví dụ 6:

Phân tích đa thức \(4x^2-4xy+y^2-9x^2y^2\) thành nhân tử.

Giải:

Ta có:

\(\begin{align} 4x^2-4xy+y^2-9x^2y^2&=(4x^2-4xy+y^2)-9x^2y^2 \\ &=(2x-y)^2-(3xy)^2 \\ &=(2x-y-3xy)(2x-y+3xy)\end{align}\)


Phương pháp nhóm hạng tử [edit]

Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm.

Ví dụ 7:

Phân tích đa thức \(xy-4y+y^2-4x\) thành nhân tử.

Giải:

Thực hiện việc đổi vị trí và nhóm lại các hạng tử, ta có;

\(\begin{align} xy-4y+y^2-4x&=xy-4x+y^2-4y \\ &=x(y-4)+y(y-4) \\ &=(y-4)(x+y). \end{align}\)

Ta cũng có thể nhóm theo cách sau:

\(\begin{align} xy-4y+y^2-4x&=(xy+y^2)-(4x-4y) \\ &=y(x+y)-4(x+y) \\ &=(y-4)(x+y). \end{align}\)

Ví dụ 8:

Phân tích đa thức \(x^2+2xy-x+xy-2y+2y^2\) thành nhân tử.

Giải:

- Để ý rằng đa thức có 6 hạng tử, nên ta nghĩ đến việc đi ghép nhóm có 2 hoặc 3 hạng tử.

- Có 3 hạng tử có hệ số tự do là 2, nên nếu chia nhóm 2 thì mỗi nhóm phải chứa 1 hạng tử có hệ số 2; còn nếu chia nhóm 3 thì cả 3 hạng tử này phải cùng một nhóm.

Ta có:

\(\begin{align}x^2+2xy-x+xy-2y+2y^2&=(x^2+2xy)-(x+2y)+(xy+2y^2) \\ &=x(x+2y)-(x+2y)+y(x+2y) \\ &=(x+2y)(x+y-1). \end{align}\)


Phương pháp tách hạng tử [edit]

Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.

Ví dụ 9:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+3xyz\)

Giải:

Nhận xét rằng đa thức có 7 hạng tử, do đó ta không thể ghép nhóm có 2 hoặc 3 hạng tử. Tuy nhiên để ý có hạng tử \(3xyz\), nếu ta tách hạng tử nà ra thành \(xyz+xyz+xyz\), thì đa thức có 9 hạng tử, và ta có thể ghép thành 3 nhóm.

Ta có:

\(\begin{align} x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+3xyz&=x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+xyz+xyz+xyz \\ &=(x^2y+x^2z+xyz)+(xy^2+y^2z+xyz)+(x^2z+yz^2+xyz) \\ & =x(xy+xz+yz)+y(xy+yz+xz)+z(xz+yz+xy) \\ &=(xy+yz+xz)(x+y+z).\end{align}\)

Ví dụ 10:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\(3x^2-11x+6\)

Giải:

\(3x^2-11x+6=3x^2-9x-2x+6=(3x^2-9x)-(2x-6)=3x(x-3)-2(x-3)=(x-3)(3x-2)\)


Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử [edit]

Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.

Ví dụ 11:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\(x^4+64\)

Giải:

Nhận xét rằng \(64=8^2\)\(x^4=(x^2)^2\), nên nếu có một lượng \(2.8.x^2\) nữa thì sẽ xuất hiện hằng đẳng thức. Từ đó ta biến đổi như sau:

\(\begin{align} x^4+64&=(x^2)^2+8^2 \\ & =(x^2)^2+2.x^2.8+8^2-2.x^2.8 \\ & =(x^2+8)^2-16x^2 \\ & =(x^2+8)^2-(4x)^2 \\ & =(x^2+8+4x)(x^2+8-4x) .\end{align}\)