Lý thuyết:Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức

Lý thuyết:Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức

Định nghĩa: [edit]

- Biểu thức có giá trị lớn nhất (nếu có) là \(a\) (\(a\) là hằng số) nếu \(P\leq a\) với mọi giá trị của biến và tồn tại ít nhất một giá trị của biến để dấu bằng xảy ra.

- Biểu thức có giá trị nhỏ nhất (nếu có) là \(b\) (\(b\) là hằng số) nếu \(P\ge b\) với mọi giá trị của biến và tồn tại ít nhất một giá trị của biến để dấu bằng xảy ra.

Các câu hỏi thường gặp: [edit]

- Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức.

- Tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất).

Phương pháp: Có ba phương pháp thường dùng sau để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.

1. Sử dụng các đánh giá thông thường (đã học ở chương trình lớp 8)

2. Sử dụng hằng đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

3. Sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: thường sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.

Chú ý:

- Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: Với  \(a, b\) là hai số không âm thì \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\).

- Trong chủ đề rút gọn biểu thức thì bất đẳng thức Cô-si thường được dùng ở dạng: Với \(a\) là số dương thì \(a+\dfrac{M^2}{a}\ge 2M\) (trong đó \(M\) là hằng số dương). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=M\).

Ví dụ 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{7}{\sqrt x+3}\,\,\,(x \ge 0)\).

Giải: (phương pháp 1)

Do \(\sqrt x\ge 0 \Rightarrow \sqrt x+3 \ge 3\) nên \(P=\dfrac{7}{\sqrt x+3} \leq \dfrac{7}{3}\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\)\(\dfrac{7}{3}\).

Ví dụ 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P= x-\sqrt x\,\,\,(x \ge 0)\).

Giải: (phương pháp 2)

Ta có 

\(P=x-\sqrt x=x-2.\sqrt x.\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\)

\(P=\left(\sqrt x -\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)

Do \(\left(\sqrt x -\dfrac{1}{2}\right)^2 \ge 0  \forall x \geq 0\) nên \(P \ge -\dfrac{1}{4}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \( x=\dfrac{1}{4}\).

Ví dụ 3

Với \(x>1\) hãy tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức \(P=\dfrac{x}{\sqrt x-1}\).

Hướng dẫn : Biểu thức\(P\) là biểu thức có tử thức là đa thức bậc nhất, mẫu thức là biểu thức chứa căn nên một trong các hay dùng là tách \(P\) có dạng \(P=A+\dfrac{M}{B}\) (với \(M\) là hằng số). Từ đó ta tìm cách áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức.

Giải: (phương pháp 3)

Ta có 

\(P=\dfrac{x-1+1}{\sqrt x-1}= \dfrac{x-1}{\sqrt x-1}+\dfrac{1}{\sqrt x-1}\)

\(P=\sqrt x+1+\dfrac{1}{\sqrt x-1}\)

\(P=\sqrt x-1+\dfrac{1}{\sqrt x-1}+2\)

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có \(\sqrt x-1+\dfrac{1}{\sqrt x-1} \ge 2\sqrt{\left(\sqrt x-1\right).\dfrac{1}{\sqrt x-1}}=2\)

Do đó \(P\ge 4\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x-1=1 \Leftrightarrow x=4\)

Vậy giá trị nhỏ nhất \(P\) bằng 4.