Lý thuyết: Mở đầu về phương trình

Mở đầu về phương trình

Mở đầu về phương trình [edit]

Xét những bài toán sau đây:

Bài toán 1: Hiện nay tuổi của A gấp đôi tuổi của B. Biết rằng \(10\) năm trước thì tuổi của A gấp bốn lần tuổi của B. Hỏi hiện nay họ bao nhiêu tuổi?

Bài toán 2: Số tiền của A nhiều gấp đôi số tiền của B. Sau khi mỗi người tiêu hết \(10\) nghìn đồng, A nhận thấy số tiền của anh gấp bốn lần số tiền của B. Hỏi ban đầu số tiền của mỗi người là bao nhiêu?

Bài toán 3: A đi xa gấp đôi B. Nếu mỗi người đi ít lại \(10\) km, thì A đi xa gấp bốn lần B. Hỏi mỗi người đã đi xa bao nhiêu km?

Trong các bài toán trên, để tìm các đại lượng chưa biết như: tuổi, tiềnquãng đường đi, ta có thể gán cho một ẩn \(x\) và bài toán được biểu diễn bởi các biểu thức của \(x\). Các biểu thức nối với nhau bởi dấu "=" được gọi là phương trình. Phương trình này là đẳng thức đúng đối với một hoặc nhiều giá trị nhất định của biến \(x\) và không đúng với những giá trị khác.

Trong Bài toán 1, ta gọi tuổi của B là \(x\) thì tuổi của A là \(2x\). Khi đó, \(10\) năm trước tuổi của A phải là \(2x-10\) và tuổi của B là \(x-10\). Theo bài toán, tuổi của A bằng bốn lần tuổi B nên ta có biểu diễn \(2x-10=4(x-10)\)

Bằng cách tương tự, ta tìm được biểu diễn của hai bài toán còn lại cũng là \(2x-10=4(x-10)\)

Ba bài toán ở trên liên quan đến những đối tượng rõ ràng khác nhau như: tuổi, tiền và quãng đường đi, nhưng được biểu diễn bởi cùng một phương trình là \((2x – 10) = 4 (x – 10)\). Như vậy, phương trình là một mô hình toán học có nhiều điểm chung với bài toán nên nghiệm của nó cũng là nghiệm của bài toán. Do đó, khi giải phương trình là ta đi giải quyết vấn đề của bài toán.

Người ta tin rằng các phương trình bậc nhất đã được giải bởi người Ai Cập vào khoảng 4000 năm trước. Phương trình bậc hai đã được giải bởi người Hindu vào thời cổ xưa, còn các phương trình tổng quát bậc ba và bậc bốn chỉ mới được giải bởi các nhà đại số học người Italy vào thế kỉ 16.

Vào giai đoạn đầu của lịch sử toán học, người ta chỉ công nhận nghiệm dương của các phương trình, còn nghiệm âm bị xem là sai.


Phương trình một ẩn [edit]

Phương trình đã được đưa vào chương trình toán học từ rất sớm, từ những năm đầu tiên của chương trình tiểu học và tiến triển liên tục ở các mức độ khác nhau ở các lớp trên. Do đó phương trình đã trải qua nhiều dạng khác nhau tương ứng với nó là nhiều cách giải khác nhau.

Ở tiểu học và trong chương trình Toán 6, Toán 7 và học kỳ 1 của Toán 8, phương trình được trình bày dưới dạng tìm số còn thiếu điền vào vị trí nào đó trong dãy phép tính để được một đẳng thức đúng. Vị trí cần điền được biểu thị bởi một ô trống \( (\square) \), dấu ba chấm \( (…) \) hoặc một chữ cái làm đại diện \((x, a, n,...)\).

Ví dụ 1: Hoàn thành các phép tính:

\(23 + \square = 50\);

\(23,5 – \square = 15\);

\(\square \times 9 =2,4\).

  Hoặc chỉ ra giá trị của \(x\) để có đẳng thức:

\(9 - x=3\);

\(5,5 \times x=0\).

Các đẳng thức trên đều là các phương trình.

Phương trình ở đây chưa có tên gọi chính thức và chưa có định nghĩa tổng quát. Nó mang nghĩa là một đẳng thức đúng mà một thành phần của phép toán đã bị “giấu đi”, người làm cần phải tìm được số đã bị giấu đi. Phương trình thường được đi kèm với lời dẫn, yêu cầu là: “Tìm số thích hợp điền vào ô trống”, “Tìm số còn thiếu điền vào ô trống để được đẳng thức đúng”, hay “Tìm x”…

Như vậy, phương trình một ẩn là một đẳng thức chứa các số, các phép toán và chữ.

Định nghĩa:

Một phương trình với ẩn \(x\) có dạng \(A(x)=B(x)\), trong đó vế trái \(A(x)\) và vế phải \(B(x)\) là hai biểu thức của cùng một biến \(x\).

Ví dụ 2: 

+) \(3x-2=5x\) là phương trình một ẩn \(x\).

      Trong đó \(VT=3x-2\); \(VP=5x\)

+) \(y-3=2(y+1)-4\) là phương trình một ẩn \(y\).

      Trong đó \(VT=y-3\); \(VP=2(y+1)-4\)


Nghiệm của phương trình [edit]

Định nghĩa:

Nghiệm của phương trình \(A(x)=B(x)\) là giá trị của \(x\) mà khi thay vào phương trình, giá trị tương ứng của hai vế bằng nhau.

Như vậy, muốn xem số \(a\) có phải là nghiệm của phương trình hay không, ta thay \(x=a\) vào phương trình, tức là tính \(A(a)\)\(B(a)\) rồi so sánh.

Nếu hai vế của phương trình bằng nhau, tức là \(A(a)=B(a)\) thì \(x=a\) là nghiệm của phương trình.

Nếu \(A(a) \neq B(a)\) thì \(x=a\) không phải là nghiệm của phương trình.

Chú ý:

Hệ thức \(x=m\) (với \(m\) là một số) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ có \(m\) là nghiệm duy nhất.

Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,... nhưng có thể không có nghiệm nào hoặc vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3: Phương trình \(3x-2=5x\) có nghiệm là \(x=-1\).

Thay \(x=-1\) vào hai vế của phương trình, ta được:

+) \(VT=3.(-1)-2=-3-2=-5\)

+) \(VP=5.(-1)=-5\)

Suy ra \(VT=VP\) nên \(x=-1\) là nghiệm của phương trình \(3x-2=5x\). \(\square\)


Giải phương trình [edit]

Định nghĩa:

Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

Như vậy, giải phương trình có nghĩa là tìm tất cả những giá trị của biến \(x\) để hai vế của phương trình cùng nhận một giá trị.

Tập tất cả các nghiệm của phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và được kí hiệu là \(S\).

Ví dụ 4: Phương trình \(x=-3\) có tập nghiệm là \(S=\{-3\}\).

            Phương trình \(x^2=-1\) không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn nên phương trình vô nghiệm. Hay tập nghiệm của phương trình là \(S= \emptyset \)\(\square\)


Phương trình tương đương [edit]

Định nghĩa:

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của phương trình này đều là nghiệm của phương trình kia và ngược lại.

Nói cách khác hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập nghiệm.

Đặc biệt, hai phương trình cùng vô nghiệm được xem là hai phương trình tương đương.

Để chỉ hai phương trình tương đương, ta dùng kí hiệu \(\Leftrightarrow\)

Ví dụ 5: Phương trình \(2x=2\) có tập nghiệm là \(S_1=\{1\}\)

            Phương trình \(3x=3\) có tập nghiệm là \(S_2=\{1\}\)

Suy ra \(S_1=S_2\)

Khi đó, ta nói hai phương trình \(2x=2\)\(3x=3\) tương đương với nhau.

Kí hiệu: \(2x=2 \Leftrightarrow 3x=3\)\(\square\)


Kí hiệu dấu "=" [edit]

     Robert Recorde ( 1512-1558)

Robert Recorde ( 1512-1558) là nhà toán học người Wales. Năm 1557, ông đã công bố ký hiệu "=" để chỉ sự bằng nhau thay cho việc phải viết "is equal to" (bằng với) trong các phương trình của ông. Ông đã cùng với nhiều nhà toán học châu Âu khác đã tạo nên một cuộc cách mạng cho toán học thời Phục Hưng: Đưa ra nhiều ký hiệu toán học để viết gọn lại các bài toán và các phương trình.

------------

Tài liệu tham khảo

[1] Lê Thanh Hải (2009), Tiệm cận khái niệm phương trình và phép biến đổi phương trình bậc nhất một ẩn ở trường phổ thông, Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.

[2] Thuvienvatly.com