Lý thuyết: Phương trình đưa được về dạng \(ax+b=0\)

Phương trình đưa được về dạng ax+b=0

Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn [edit]

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax+b=0\ (a \neq 0) \), trong đó \(a,\ b\) là các số tùy ý cho trước.

Có những phương trình thông qua các phép biến đổi có thể đưa được về dạng \(ax+b=0\ (a \neq 0)\) được gọi là những phương trình đưa được về dạng \(ax +b=0\ (a \neq 0) \).


Các quy tắc biến đổi phương trình [edit]

Quy tắc chuyển vế:

Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác \(0\).


Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn [edit]

Ta thừa nhận rằng: từ một phương trình, dùng các quy tắc biến đổi: quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

Phương trình bậc nhất một ẩn được giải như sau:

     \(ax+b=0\) (chuyển \(b\) sang vế phải và đổi dấu thành \(-b\) )

\(\Leftrightarrow ax=-b\)  (chia cả hai vế cho \(a\) )

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{a}\)

Vậy phương trình bậc nhất \(ax+b=0\) luôn có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{-b}{a}\).


Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng \(ax+b=0\) [edit]

Để giải phương trình đưa được về dạng \(ax+b=0\ (a \neq 0)\) ta thực hiện như sau:

Bước 1: Bằng việc sử dụng phép toán bỏ dấu ngoặc hay quy đồng mẫu,... để biến đổi phương trình ban đầu về dạng \(ax+b=0\) hoặc \(ax=-b\).

Bước 2: Giải phương trình nhận được và kết luận.

Phương pháp giải phương trình đưa được về bậc nhất một ẩn được minh họa bởi các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải phương trình \(5(x+3)-(3-x)=2x\)

Giải:

         \(5(x+3)-(3-x)=2x\)

 

\(\Leftrightarrow 5x+15-3+x=2x\)

\(\longrightarrow\) Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc

\(\Leftrightarrow 5x +x -2x =-15+3\)

\(\longrightarrow\) Chuyển các hạng tử chứa ấn sang \(VT\) và các hằng số sang \(VP\)

\(\Leftrightarrow 4x=-12\)

\(\longrightarrow\) Thu gọn ta được phương trình có dạng \(ax=b\)

\(\Leftrightarrow x=-12: 4\)

\(\longrightarrow\)  Sử dụng quy tắc chia, chia cả hai vế cho \(4\) để tìm nghiệm

\(\Leftrightarrow x =-3\)

 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=-3\)

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\dfrac{5x+1}{6}-x=1-\dfrac{x+2}{3}\)

Giải:

     \(\dfrac{5x+1}{6}-x=1-\dfrac{x+2}{3}\)

 

\(\Leftrightarrow  \dfrac{5x+1}{6}-\dfrac{6x}{6} =\dfrac{6}{6} -\dfrac{2(x+2)}{6}\) 

\(\longrightarrow\) Quy đồng mẫu số hai vế

\(\Leftrightarrow \dfrac{5x+1-6x}{6} =\dfrac{6-2(x+2)}{6}\)

\(\longrightarrow\) Cộng các phân số cùng mẫu

\(\Leftrightarrow \dfrac{-x+1}{6}=\dfrac{2-2x}{6}\)


\(\Leftrightarrow -x+1=2-2x\)

 \(\longrightarrow\)  Nhân hai vế với \(6\) để khử mẫu

\(\Leftrightarrow -x+2x=2-1\)

\(\longrightarrow\) Chuyển các hạng tử chứa ấn sang \(VT\) và các hằng số sang \(VP\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

\(\longrightarrow\) Thu gọn phương trình về dạng \(ax=b\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=1\)

Chú ý: 

+) Trong nhiều trường hợp, ta cần biến đổi linh hoạt để làm đơn giản phương trình.

+) Quá trình biến đổi phương trình có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng \(0\). Khi đó, phương trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \(x\) (vô số nghiệm).

  •  \(ax=b\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} a=0 \\ b \neq 0 \end{array} \right.\)
  • \(ax=b\) vô số nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} a=0 \\ b= 0 \end{array} \right.\)
Ví dụ 3: Giải phương trình \(\dfrac{x+2}{5}+\dfrac{x+2}{7}+\dfrac{x+2}{9}=0\)

Giải:

Để ý rằng các tử thức đều là \(x+2\) nên ta sẽ không cần phải quy đồng khử mẫu các phân thức trên.

Tiến hành đặt nhân tử chung ta được:

     \(\dfrac{x+2}{5}+\dfrac{x+2}{7}+\dfrac{x+2}{9}=0\)

\(\Leftrightarrow (x+2). \left(\dfrac{1}{5} +\dfrac{1}{7} +\dfrac{1}{9} \right) =0\)

\(\Leftrightarrow x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x =-2\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=-2\).

Ví dụ 4: 

a) \(x+3=x-4\)

\(\Leftrightarrow x-x=-3-4 \)

\(\Leftrightarrow 0.x=-7\)  (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) \(2x+x-3=3x-3\)

\(\Leftrightarrow 2x+x-3x=3-3\)

\(\Leftrightarrow 0.x=0\)  (luôn đúng)

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

Hay phương trình có vô số nghiệm.