Lý thuyết: Phương trình tích

Phương trình tích

Định nghĩa [edit]

Phương trình tích (ẩn \(x\) ) là phương trình có dạng\(A(x).B(x)=0\), trong đó \(A(x),\ B(x)\) là các đa thức ẩn \(x\).

Ví dụ 1:

a) \((x+1)(x-5)=0\)

\(\longrightarrow\) Phương trình tích

b) \(\left(\dfrac{2}{3}-y \right)(y+3)=0\)

\(\longrightarrow\) Phương trình tích

c) \((3t-5)(t+1)+3=0\)

\(\longrightarrow\) Không phải là phương trình tích


Cách giải [edit]

Để giải phương trình tích, ta sử dụng tính chất \(a.b=0 \Leftrightarrow a=0\) hoặc \(b=0\).

\(A(x).B(x) =0 \Leftrightarrow A(x)=0\) hoặc \(B(x)=0\)

Ta có thể sử dụng kí hiệu như sau:

\(A(x).B(x) =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} A(x)=0 \\B(x)=0 \end{array} \right. \)

Như vậy muốn giải phương trình \(A(x).B(x)=0\) ta đi giải các phương trình \(A(x)=0\)\(B(x)=0\) rồi lấy tất cả các nghiệm tìm được.

Ví dụ 2: Giải phương trình \((x+3)(x-2)=0\)

Giải:

Để giải phương trình \((x+3)(x-2)=0\) ta đưa về giải hai phương trình bậc nhất \(x+3=0\)\(x-2=0\) rồi lấy tất cả các nghiệm.

Ta được:

     \((x+3)(x-2)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x+3=0\\ x-2=0 \end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=-3\\ x=2 \end{array} \right. \)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x=-3\)\(x=2\).

Chú ý:

Ở lớp 7 ta đã biết một đa thức bậc \(n\) có không quá \(n\) nghiệm. Vì thế ta sẽ giải được phương trình có dạng \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_o =0\) nếu ta phân tích được vế trái thành nhân tử. Phương trình này có không quá \(n\) nghiệm.


Phương trình đưa được về dạng tích [edit]

Bài toán: Giải phương trình \(x^2-x=-2x+2\)          \((1)\)

Sử dụng các quy tắc biến đổi quen thuộc: quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân (chia) với một số để biến đổi phương trình.

Ta được:

       \(x^2-x=-2x+2\)

 

\(\Leftrightarrow x^2-x+2x=2\)

\(\longrightarrow\) chuyển các hạng tử chứa ẩn sang vế trái, các hạng tử tự do sang vế phải.

\(\Leftrightarrow x^2+x=2\)

\(\longrightarrow\) Thu gọn vế trái

Sau khi sử dụng quy tắc chuyển vế, vế trái là đa thức bậc hai \(x^2 +x\), không sử dụng được quy tắc nhân (chia) với một số để tìm \(x\).

Trong nhiều trường hợp, ta không thể dùng các quy tắc biến đổi như quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân (chia) với một số đưa phương trình về dạng \(ax+b=0\) để tìm \(x\). Nhưng ta có thể đưa phương trình về dạng tích của các đa thức bậc nhất. Chẳng hạn:

     \(x^2-x=-2x+2\)

 

\(\Leftrightarrow x^2-x+2x-2=0\)

\(\longrightarrow\) Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái

\(\Leftrightarrow (x^2-x)+(2x-2)=0\)

\(\longrightarrow\) Nhóm các hạng tử

\(\Leftrightarrow x(x-1) +2(x-1)=0\)

\(\longrightarrow\) Đặt nhân tử chung cho mỗi nhóm

\(\Leftrightarrow (x-1)(x+2)=0\)     \((2)\)

\(\longrightarrow\) Đặt nhân tử chung \((x-1)\) ra ngoài

Sau khi phân tích vế trái thành nhân tử, ta thấy vế trái là tích của các đa thức bậc nhất. Để giải phương trình \((2)\), ta sử dụng tính chất \(a.b=0 \Leftrightarrow a=0\) hoặc \(b=0\), ta được \(x-1=0\) hoặc \(x+2=0\). Lúc này ta quay về giải phương trình bậc nhất một ẩn.

     \((x-1)(x+2)=0\)

 

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x-1=0\\ x+2=0 \end{array} \right.\)


\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=1\\ x=-2 \end{array} \right.\)

 

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\{ -1; 2\}\).

Phương trình \((2)\) được gọi là phương trình tích, còn phương trình \((1)\) gọi là phương trình đưa được về dạng tích.

Như vậy, để đưa một phương trình về dạng tích, ta chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái và sử dụng các phương pháp để phân tích vế trái thành nhân tử.

Phương pháp

Để giải phương trình đưa được về dạng tích, ta làm như sau:

Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử sag vế trái.

Bước 2: Phân tích vế trái thành nhân tử.

Bước 3: Giải phương trình thu được rồi kết luận

Mở rộng:

Đối với phương trình có nhiều thừa số, ta cũng làm tương tự. 

\(A(x).B(x)....M(x)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{llll} A(x)=0\\ B(x)=0 \\ ... \\ M(x)=0 \end{array} \right. \)

Ví dụ 3: Giải phương trình \((x-5)(2x+4)(3-x)=0\)

Giải:

     \((x-5)(2x+4)(3-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{lll} x-5=0\\ 2x+4=0\\ 3-x=0   \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[  \begin{array}{lll} x=5\\ 2x=-4\\ -x=-3  \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{lll}  x=5\\ x=-2\\ x=3   \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S=\{ -2; 5; 3\}\)