Lý thuyết: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ở các bài trước chúng ta mới chỉ xét các phương trình mà hai vế của nó là các biểu thức hữu tỉ của ẩn và không chứa ẩn dưới mẫu. Bây giờ ta sẽ nghiên cứu cách giải các phương trình có biểu thức chứa ẩn ở dưới mẫu.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu [edit]

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có biểu thức chứa ẩn ở dưới mẫu.

Ví dụ 1:

a) \(\dfrac{1}{y+2}=0\)

\(\longrightarrow\) phương trình chứa ẩn ở mẫu (ẩn \(y\) )

b) \(\dfrac{x-4}{x^2+2x+5}=0\) 

\(\longrightarrow\) phương trình chứa ẩn ở mẫu (ẩn \(x\) )

c) \(\dfrac{3x-7}{6}=0\)

\(\longrightarrow\) phương trình không chứa ẩn ở mẫu

Vì dưới mẫu chứa ẩn (đại lượng chưa biết) nên chưa thể khẳng định mẫu thức khác \(0\), đây là điều kiện để một phân thức tồn tại (hay có nghĩa). Chính vì vậy, việc tìm điều kiện xác định là rất quan trọng trong việc tìm nghiệm của một phương trình. Giúp loại bỏ các giá trị của ẩn làm cho mẫu bằng \(0\).

Điều kiện xác định của phương trình [edit]

Điều kiện xác định của một phương trình (viết tắt là ĐKXĐ) là điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều có giá trị khác \(0\).

Đối với phương trình:

\(\dfrac{A_1 (x)}{B_1 (x)} + \dfrac{A_2 (x)}{B_2 (x)} + ... + \dfrac{A_n (x)}{B_n (x)} =0\)

trong đó \(A_1 (x),..., A_n (x), B_1 (x),..., B_n(x)\) là các biểu thức thì điều kiện xác định là hệ:

\( \left\{\begin{array}{llll} B_1 (x) \neq 0\\ B_2 (x) \neq 0\\ ... \\ B_n (x) \neq 0 \end{array} \right.\)

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

a) \(\dfrac{1}{x+1}+2=0\)

Giải:

Phương trình đã cho chỉ có một mẫu là \(x+1\) nên ta chỉ cần đi tìm điều kiện của \(x\) để \(x +1 \neq 0\).

Để giải \(x +1 \neq 0\), ta sử dụng các quy tắc biến đổi như đối với giải phương trình.

ĐKXĐ của phương trình là: \(x+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1.\)

b) \(\dfrac{2}{2x+3}-\dfrac{1}{x-5}=0\)

Giải:

Phương trình đã cho có hai mẫu là \(2x+3\)\(x-5\) nên cần tìm điều kiện của \(x\) để cả hai mẫu đó cùng khác \(0\).

ĐKXĐ của phương trình là hệ:

\(\left\{\begin{array}{ll} 2x+3 \neq 0\\ x-5 \neq 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 2x \neq -3\\ x \neq 5 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x \neq \dfrac{-3}{2}\\ x \neq 5 \end{array} \right.\)

Vậy ĐKXĐ của phương trình là \(x \neq \dfrac{-3}{2}\)\(x \neq 5\).

Chú ý:

Trong những trường hợp hệ điều kiện phức tạp, ta nên giải từng điều kiện một rồi kết hợp các điều kiện lại.

Ví dụ 3: Tìm ĐKXĐ của phương trình \(\dfrac{x+1}{x^2-2x+1} + \dfrac{3}{x^2-1} + \dfrac{5}{x^2-3x+2} =2\).

Giải:

Phương trình trên có ba mẫu thức là các phương trình bậc hai, việc gộp điều kiện của ba mẫu để cùng giải một lúc sẽ phức tạp. Ta nên giải từng điều kiện rồi kết hợp lại.

ĐKXĐ của phương trình là hệ \(\left\{\begin{array}{lll} x^2-2x+1 \neq 0\\ x^2-1 \neq 0\\ x^2 -3x+2 \neq 0 \end{array} \right.\)

Ta có:

+) \(x^2-2x+1 \neq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1\)

+) \(x^2-1 \neq 0\)

\(\Leftrightarrow (x+1)(x-1) \neq 0\)

 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x+1 \neq 0 \\ x-1 \neq 0 \end{array} \right.\)

 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x \neq -1 \\ x \neq 1 \end{array} \right.\)

+) \(x^2-3x+2 \neq 0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x-2) \neq 0\)

 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x-1 \neq 0 \\ x-2 \neq 0 \end{array} \right.\)

 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x \neq 1 \\ x \neq 2 \end{array} \right.\)

Kết hợp các điều kiện ta được ĐKXĐ của phương trình là \(x \neq \pm 1\)\(x \neq 2\).

Phương trình hệ quả

Nếu biến đổi một phương trình thành một phương trình khác có tập hợp nghiệm rộng hơn thì ta gọi phương trình sau là một phương trình hệ quả của phương trình ban đầu.

Ví dụ: Xét hai phương trình

\(x=2\)     \((1)\)

\(x^2=4\)    \((2)\)

Bình phương cả hai vế của phương trình \((1)\) ta được phương trình \((2)\) nhưng hai phương trình này không tương đương. Thật vậy,

Phương trình \((1)\) có tập nghiệm là \(S=\{ 2\} \)

Phương trình \((2)\) có tập nghiệm là \(S=\{-2; 2\} \)

Khi đó ta nói phương trình \((2)\) là phương trình hệ quả của phương trình \((1)\).

Đối với các phương trình chứa ẩn ở mẫu, phép khử mẫu thường chỉ cho phương trình hệ quả. Do đó, ta không thể sử dụng kí hiệu \(\Leftrightarrow\), thay vào đó ta sử dụng kí hiệu \(\Rightarrow\).


Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức [edit]

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kiểm tra ĐKXĐ và kết luận (loại các giá trị không thỏa mãn ĐKXĐ).

Chú ý:

Bước khử mẫu không được sử dụng kí hiệu \(\Leftrightarrow\) mà sử dụng kí hiệu \(\Rightarrow\).

Ví dụ 4: Giải phương trình \(\dfrac{1}{x-3} +\dfrac{2}{x+2} =0\)

Giải:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{ll} x-3 \neq 0 \\ x+2 \neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x \neq 3 \\ x \neq -2 \end{array} \right.\)

Mẫu thức chung: \((x-3)(x+2)\)

Thực hiện quy đồng, khử mẫu, ta được:


 \(\dfrac{1}{x-3} +\dfrac{2}{x+2} =0\)

 

\(\Leftrightarrow \dfrac{x+2}{(x-3)(x+2)}   +\dfrac{2(x-3)}{(x-3)(x+2)} =0\)

\(\longrightarrow\) Quy đồng mẫu thức

\(\Leftrightarrow \dfrac{x+2 +2(x-3)}{(x-3)(x+2)} =0\)

\(\longrightarrow\) Thu gọn vế trái

\(\Rightarrow x+2+2(x-3)=0\)

\(\longrightarrow\) Khử mẫu (khử mẫu không phải là phép biến đổi tương đương)

\(\Leftrightarrow x+2+2x-6=0\)

\(\Leftrightarrow 3x-4=0\)

\(\longrightarrow\) Thu gọn vế trái

\(\Leftrightarrow 3x=4\)

\(\longrightarrow\) Đưa phương trình về dạng \(ax=b\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3} \) (thỏa   mãn ĐKXĐ)

\(\longrightarrow\) Kiểm tra ĐKXĐ













Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x =\dfrac{4}{3}\).

Chú ý:

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tìm điều kiện cụ thể gặp khó khăn, khi đó ta chỉ cần đặt ĐKXĐ mà không giải, sau đó thử nghiệm tìm được vào mẫu để kiểm tra.