Lý thuyết: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Ở tiểu học, học sinh đã được làm quen với dạng toán có lời văn, các bài toán đố. Thực chất đây cũng là một dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” nhưng ở dạng đơn giản, chỉ bằng một hoặc vài phép tính là có thể tìm ra đáp án. Để giải các dạng toán này, học sinh thường sử dụng các phương pháp như: phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, phương pháp tỉ lệ, phương pháp thử chọn, phương pháp lập bảng, … mà không cần đặt ẩn và lập phương trình.

Ở cấp THCS, trong chương trình Toán 6 và 7 học sinh cũng được làm quen với dạng toán này qua các bài toán số học. Tuy nhiên, phải lên chương trình Toán 8 học sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi tương đương. Vì thế các bài toán có lời văn cũng phức tạp và yêu cầu cao hơn, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức, khả năng phân tích, tổng hợp, liên kết các đại lượng và thành lập phương trình. Dạng toán này còn được phát triển lên thành “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” (hệ có hai phương trình) và "Giải bài toán bằng cách lập phương trình" (Phương trình bậc hai) với mức độ cao hơn ở chương trình Toán 9.

Giải bài toàn bằng cách lập phương trình là biến bài toán bằng lời văn thành phương trình ứng với bài toán đã cho. Muốn vậy phải nắm vững ngôn ngữ đại số (chỉ sử dụng các kí hiệu toán học), biết phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số.

Các bài toán được đề cập đến trong chương này chủ yếu là các bài toán dẫn đến phương trình có thể đưa về bậc nhất \((ax+b=0).\)


Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình [edit]

Để giải một bài toán bằng cách lập phương trình, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lập phương trình, gồm các bước:

1. Chọn ẩn (Chỉ rõ đơn vị và điều kiện của ẩn).

2. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

3. Lập phương trình biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng chưa biết và đã biết.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của ẩn và kết luận.

Chú ý:

- Bước 1 có tính chất quyết định nhất, thường đề bài hỏi gì ta sẽ đặt cái đó là ẩn. Xác định đơn vị và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực tiễn.

+) Nếu ẩn \(x\) biểu thị một chữ số thì điều kiện là \(x\) nguyên và \(0 \leq x \leq 9\).

+) Nếu ẩn \(x\) biểu thị số tuổi, số sản phẩm, số người, ... thì điều kiện là \(x\) nguyên dương.

+) Nếu ẩn \(x\) biểu thị vận tốc, thời gian, quãng đường,... thì điều kiện là \(x >0\).

+) ....

- Trong những trường hợp chọn ẩn như vậy mà phương trình phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn. Có thể chọn đại lượng khác làm ẩn hoặc gọi thêm ẩn để phương trình của bài toán trở nên đơn giản hơn.


Một số dạng toán

Dạng 1. Dạng chuyển động [edit]

Bài toán chuyển động gồm có ba đại lượng là quãng đường \((S)\), vận tốc \((v)\) và thời gian \((t)\) liên hệ với nhau bởi các công thức trong bảng sau:


Đối với trường hợp chuyển động ở dưới nước (thuyền, bè, ca nô,...) ta cần chú ý sử dụng công thức tính vận tốc sau:

(Không mất tính tổng quát, ta có thể chọn ca nô làm đối tượng di chuyển dưới nước)



Trong đó:

+) \(v_{\text{thực}}\) là vận tốc thực tế của ca nô khi dòng nước đứng yên.

+) \(v_{\text{xuôi}}\) là vận tốc ca nô khi đi xuôi.

+) \(v_{\text{ngược}}\) là vận tốc của ca nô khi đi ngược.

+) \(v_{nước}\) là vận tốc của dòng nước khi chảy.

Khi ca nô đi xuôi, tức là đi cùng chiều với dòng nước, thì đi nhanh hơn vì có sự hỗ trợ của dòng chảy nên vận tốc đi xuôi bằng vận tốc thực cộng vận tốc của dòng nước.

Khi ca nô đi ngược, tức là ngược chiều với dòng chảy, thì đi chậm hơn vì bị dòng nước cản trở nên vận tốc đi ngược bằng vận tốc thực trừ đi vận tốc của dòng nước.


Dạng 2. Dạng toán về công việc [edit]

Toán về công việc gồm có ba đại lượng là: khối lượng công việc \((V),\) năng suất \((N)\) và thời gian \((T)\)  liên hệ với nhau bởi các công thức được cho bởi bảng sau:


Quy ước:

- Khi làm xong công việc, ta quy ước khối lượng công việc được biểu thị bằng \(1\).

- Với bài toán làm chung, năng suất chung bằng tổng năng suất của mỗi người.


Dạng 3. Dạng toán có nội dung số học [edit]

Một số kiến thức thường dùng:

+) Tỷ số của hai số \(a\)\(b\ (b \neq 0)\) là: \(\dfrac{a}{b}.\)

+) \(a \% =\dfrac{a}{100}.\)

+) Cách biểu diễn số tự nhiên có hai hoặc ba chữ số được cho bởi bảng sau:



Dạng 4. Dạng toán có nội dung hình học [edit]

Một số kiến thức thường dùng:

Ta thường sử dụng đến các công thức tính chu vi và diện tích sau: