Lý thuyết: Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn

Định nghĩa [edit]

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

\(ax^2+bx+c=0,\) với \(a \neq 0\)

trong đó \(x\) là ẩn số và \(a,\ b,\ c\) là các hệ số đã cho. Các số \(a,\ b,\ c\) được gọi là các hệ số của phương trình, có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một và số hạng tự do.

Đặc biệt:

+) Nếu \(b=0,\) ta có: \(ax^2+c=0\ (a \neq 0)\) gọi là phương trình bậc hai khuyết \(b\).

+) Nếu \(c=0,\) ta có: \(ax^2+bx=0\ (a \neq 0)\) gọi là phương trình bậc hai khuyết \(c\).

Ví dụ 1:

+) \(x^2+2x+3=0\) là một phương trình bậc hai một ẩn với \(a=1,\ b=2\)\(c=3.\)

+) \(-3x^2+5=0\) là một phương trình bậc hai một ẩn với \(a=-3,\ b=0\)\(c=5.\)

+) \(\dfrac{x^2}{5}-x=0\) là một phương trình bậc hai một ẩn với \(a=\dfrac{1}{2},\ b=-1\)\(c=0.\)

+) \(x+3=0\) không phải là phương trình bậc hai vì hệ số của \(x^2\) bằng \(0\), tức là \(a=0\).

+) \(x^5-x^2+x=0\) không phải là phương trình bậc hai vì biến \(x\) có lũy thừa \(5.\)


Cách giải [edit]

Lịch sử phương trình bậc 2 bắt nguồn từ nền văn minh Babylon cổ đại (khoảng 1800 năm TCN). Lúc đó họ đã biết cách giải tất cả các phương trình bậc 2 nhưng không diễn đạt trong tập hợp số thực.

Vào thế kỷ thứ VI TCN, trường phái Pythagores đã giải phương trình bậc 2 bằng hình học và về sau người ta gọi là phương pháp Pythagores.

Ở thế kỷ thứ III TCN, người Hi Lạp cổ đại đã biến việc giải phương trình bậc hai thành cơ sở cho toàn bộ hình học của họ.

Người Ai Cập, người Hindu, người Trung Hoa,... cũng đã biết cách giải phương trình bậc 2. Nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta được xem là người đầu tiên khám phá ra công thức nghiệm để giải các phương trình bậc hai được viết bằng lời thay vì sử dụng kí hiệu. Nhưng công thức nghiệm thì mãi đến thế kỉ thứ IX nhà toán học Al-Khowarizmi mới lập được.

Có nhiều cách để giải phương trình bậc hai như phân tích đa thức thành nhân tử, đưa về hằng đẳng thức, sử dụng công thức nghiệm và đồ thị. Trong phạm vi bài này, ta chỉ sử dụng \(2\) cách sau:

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số.

Ví dụ 2: Giải phương trình \(x^2-3x+2=0.\)

Giải:

Phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử để đưa về phương trình tích, ta được:


Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x_1=1\)\(x_2=2\).

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc phân tích vế trái thành nhân tử không hề dễ dàng, đặc biệt với các phương trình có nghiệm là các biểu thức căn bậc hai,... Để giải quyết các hạn chế trên, ta sử dụng phương pháp thêm bớt để biến đổi một đa thức về hằng đẳng thức (được gọi là phương pháp phần bù bình phương). Cụ thể xét ví dụ dưới đây:

Ví dụ 3: Giải phương trình \(x^2+4x-1=0.\)

Giải


Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x_1=-2+\sqrt{5}\)\(x_2=-2-\sqrt{5}\).

Vì nghiệm của phương trình là các số vô tỉ nên việc sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử gặp nhiều khó khăn và khó thực hiện. Kỹ thuật thêm bớt có thể sử dụng để giải cho tất cả các phương trình bậc hai!


Có thể em chưa biết? [edit]


Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi (780-850 TCN)

Muhammad ibn Musa al-Khwarrixmi là một nhà toán học, thiên văn học, chiêm tinh học và địa lí học Ba Tư. Ông sinh vào khoảng năm 780 tại Khwarrizm, khi đó thuộc Đế quốc Ba Tư (ngày nay là Khiva, Uzbekistan) và mất khoảng năm 850 và được gọi là "nhân tài lỗi lạc của toán học Ả Rập".

Những cống hiến của ông trong các lĩnh vực như toán học, địa lý, thiên văn và bản đồ học đã thiết lập nền tảng cho các phát minh về đại số và lượng giác. Phương pháp tiếp cận có hệ thống của ông để giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai phát triển thành đại số. Những giải thích của ông về việc ứng dụng các phương trình đã mở đường cho việc nghiên cứu sâu hơn về đại số, số học và lượng giác.