Lý thuyết: Góc ở tâm. Số đo cung

Góc với đường tròn

Góc ở tâm [edit]

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm \(O\) và các điểm như hình vẽ:


+) Góc \(\widehat{AOB}\) là góc ở tâm vì có đỉnh \(O\) trùng với tâm \(O\) của đường tròn.

+) Các góc \(\widehat{FEK},\ \widehat{OME}\) không phải là góc ở tâm vì đỉnh \(E,\ M\) không trùng với tâm \(O.\)

Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn ở hai điểm, hai điểm này chia đường tròn thành hai cung. Do đó có thể xảy ra hai trường hợp:

+) Nếu \(0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}\) thì có một cung nhỏ (là cung nằm bên trong góc) và một cung lớn (cung nằm bên ngoài góc).

+) Nếu \( \alpha =180^{\circ}\) thì hai cung đều bằng nửa đường tròn.


Cung tròn [edit]

Cung tròn là một phần của đường tròn được giới hạn bởi hai điểm.

Cung \(AB\) được kí hiệu là \(\stackrel\frown{AB}\) hoặc \(\stackrel\frown{BA}\) với \(A,\ B\) là hai đầu mút.

Thường dùng các chữ cái in thường viết cạnh cung để phân biệt cung lớn và cung nhỏ. 


Khi viết \(\stackrel\frown{AB}\) nếu không giải thích gì thêm thì ta hiểu đó là cung nhỏ \(AB.\)


Cung bị chắn [edit]

Cung bị chắn là cung nằm bên trong góc.

Ở hình trên, \(\stackrel\frown{AnB}\) là cung bị chắn bởi góc \(\widehat{AOB}\). Ta còn nói góc \(\widehat{AOB}\) chắn cung nhỏ \(AnB.\)

Như vậy, cung nhỏ gọi là cung bị chắn.


Số đo của cung [edit]

Số đo của cung \(AB\) được xác định như sau:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \(360^{\circ}\) và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

+) Số đo của nửa đường tròn bằng \(180^{\circ}.\)

Số đo của cung \(AB\) được kí hiệu là  sđ \(\stackrel\frown{AB}.\)

Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm \(O\) và các điểm như hình vẽ:


+) Vì góc \(\widehat{AOB}=60^{\circ}\) nên số đo của cung nhỏ \(AnB\) là sđ \(\stackrel\frown{AnB}=60^{\circ}.\)

+) Vì cung \(\stackrel\frown{AmB}\) là cung lớn nên số đo cung là sđ \(\stackrel\frown{AmB}=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}.\)

Chú ý:

+) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn \(180^{\circ}.\)

+) Cung lớn có số đo lớn hơn \(180^{\circ}.\)

+) Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có "cung không" với số đo \(0^{\circ}\) và cung cả đường tròn với số đo \(360^{\circ}.\)


So sánh hai cung [edit]

Xét hai đường tròn bằng nhau \((O;R)\)\((O’; R)\) và hai cung tròn như hình vẽ:


Kí hiệu \(l_{AB}\)\(l_{CD}\) là độ dài cung \(AB\)\(CD.\) Để so sánh \(l_{AB}\)\(l_{CD}\) ta xét hiệu \(l_{AB}-l_{CD}.\)

Độ dài cung thực chất là một phần chu vi của đường tròn.

Đường tròn bán kính \(R\) \((\)ứng với \(360^{\circ})\) có độ dài là: \(C=2 \pi R.\)

Vậy cung tròn \(1^{\circ},\) bán kính \(R\) có độ dài là: \(\dfrac{1. 2 \pi R}{360}.\)

Do đó cung tròn \(a^{\circ}\) bán kính \(R\) có độ dài là: \(l_{AB}=\dfrac{a. 2 \pi R}{360}.\)

Tương tự, cung tròn \(b^{\circ}\) bán kính \(R\) có độ dài là: \(l_{CD}=\dfrac{b. 2 \pi R}{360}.\)

Xét hiệu:

\(l_{AB}-l_{CD}=\dfrac{a. 2 \pi R}{360} - \dfrac{b. 2 \pi R}{360} =\dfrac{2 \pi  R}{360}(a-b).\)

Ta có các trường hợp sau:

+) Nếu \(a-b>0 \Leftrightarrow a>b\) thì \(l_{AB} > l_{CD},\)

+) Nếu \(a-b<0 \Leftrightarrow a<b\) thì \(l_{AB} < l_{CD},\)

+) Nếu \(a-b=0 \Leftrightarrow a=b\) thì \(l_{AB}=l_{CD}.\)

Vậy để so sánh độ dài hai cung ta đi so sánh số đo góc chắn các cung đó, tức là so sánh số đo cung.

Tổng quát

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

+) Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

+) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì được gọi là cung lớn hơn.


Một số kí hiệu:

+) Cung \(\stackrel\frown{AB}\) bằng cung \(\stackrel\frown{CD}\) kí hiệu là \(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}. \)  

+) Cung \(\stackrel\frown{AB}\) nhỏ hơn cung \(\stackrel\frown{CD}\) kí hiệu là \(\stackrel\frown{AB}<\stackrel\frown{CD}. \) 

+) Cung \(\stackrel\frown{AB}\) lớn hơn cung \(\stackrel\frown{CD}\) kí hiệu là \(\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}. \)  


Điểm nằm trên cung [edit]

Xét đường tròn \((O)\) với \(A,\ B\) thuộc đường tròn.

+) Trên cung nhỏ \(\stackrel\frown{AnB}:\)


Nếu điểm \(C \in (O)\)\(C\) nằm giữa hai điểm \(A\)\(B\) thì ta có:

\(OC\) là tia nằm giữa hai tia \(OA\)\(OB\)

\(\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{AOC} +\widehat{COB}\)

\(\Rightarrow\)\(\stackrel\frown{AB}=\)\(\stackrel\frown{AC}\) + sđ \(\stackrel\frown{CB}.\ \square\)

+) Trên cung lớn \(\stackrel\frown{AmB}:\)


Nếu điểm \(C \in (O)\) thì cung lớn \(\stackrel\frown{AmB}\) được chia thành hai cung nhỏ là \(\stackrel\frown{AC}\) và \(\stackrel\frown{CB}.\) Ta có:

Vì \(\stackrel\frown{AmB}\) là cung lớn nên:

\(\stackrel\frown{AmB}=360^{\circ}-\)\(\stackrel\frown{AnB}\ \ (1)\)

Lại có:

      \(\widehat{AOC}+\widehat{COB}+\widehat{AOB}=360^{\circ}\)

\(\Rightarrow \widehat{AOC}+\widehat{COB}=360^{\circ}-\widehat{AOB}\)

\(\Rightarrow\)\(\stackrel\frown{AC}+\)\(\stackrel\frown{CB}=360^{\circ}-\)\(\stackrel\frown{AB}\ \ (2)\)

Từ \((1)\)\((2)\) suy ra:

\(\stackrel\frown{AmB}=\)\(\stackrel\frown{AC}+\)\(\stackrel\frown{CB}.\ \square\) 

Tổng quát:

Điểm \(C\) nằm trên cung \(AB\) và chia cung này thành hai cung kí hiệu là \(\stackrel\frown{AC}\) và \(\stackrel\frown{CB}\) thì ta có:

\(\stackrel\frown{AB}=\)\(\stackrel\frown{AC}+\)\(\stackrel\frown{CB}\)