Lý thuyết: Liên hệ giữa cung và dây

Liên hệ giữa cung và dây

Giới thiệu [edit]

Xét đường tròn \((O)\) và hai điểm \(A,\ B\) như hình vẽ:


Hai điểm \(A,\ B\) chia đường tròn thành hai cung, là cung lớn \(\stackrel\frown{AmB}\) và cung nhỏ \(\stackrel\frown{AnB}.\) Khi đó đoạn thẳng \(AB\) được gọi là dây căng cung \(\stackrel\frown{AB}\) hoặc ta cũng nói cung \(\stackrel\frown{AmB}\) căng dây \(AB.\) Trong hình vẽ, dây \(AB\) căng hai cung \(AmB\)\(AnB.\)

Như vậy, trong một đường tròn, một dây căng hai cung (là cung lớn và cung nhỏ). 

Chiếc cung tên khi ở trạng thái ban đầu có hình dạng là một dây căng cung:



Định lí 1 [edit]

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau thì hai dây bằng nhau.

b) Hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nhau.

Chứng minh:

Xét đường tròn tâm \((O; R)\) và hai cung nhỏ \(AB,\ CD\) như hình vẽ:


a) Giả sử \(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD},\) ta phải chứng minh \(AB=CD.\)

Theo định nghĩa về số đo cung, vì cung \(\stackrel\frown{AB}\)\(\stackrel\frown{CD}\) là hai cung nhỏ nên có số đo là:

sđ \(\stackrel\frown{AB}=\widehat{AOB}\)\(\stackrel\frown{CD}=\widehat{COD}.\)

Theo giả thiết, \(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\) nên \(\widehat{AOB}=\widehat{COD}.\)

Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OCD\) có:

\(OA=AC=R\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

\(OB=OC=R\)

Suy ra \(\Delta OAB = \Delta OCD\) (c.g.c)

Do đó \(AB=CD\) (hai cạnh tương ứng).

Vậy nếu \(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\) thì \(AB=CD.\ \square\)


b) Giả sử \(AB=CD,\) ta phải chứng minh \(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}.\)


Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OCD\) có:

\(OA=AC=R\)

\(AB=CD\) (GT)

\(OB=OC=R\)

Suy ra \(\Delta OAB = \Delta OCD\) (c.c.c)

Do đó \(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\) (hai góc tương ứng).

Vậy nếu \(AB=CD\) thì \(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}.\)

Kết luận

\(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD} \Leftrightarrow AB=CD\)


Định lí 2 [edit]

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:


a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

\(\stackrel\frown{AB} >\stackrel\frown{CD} \Rightarrow AB>CD.\)

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

\(CD<AB \Rightarrow \stackrel\frown{AB} >\stackrel\frown{CD}\)

Kết luận

\(\stackrel\frown{AB} > \stackrel\frown{CD} \Leftrightarrow  AB>CD\)

Bổ sung:

Ngoài hai định lí trên, ta còn có một số tính chất sau:

1. Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

2. Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

3. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.

3. Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.