Lý thuyết: Góc nội tiếp

Góc nội tiếp

Góc nội tiếp [edit]

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ: Xét đường tròn tâm \(O\) và các điểm như hình vẽ:


+) Góc \(\widehat{BAC}\) ở hình \(a)\) là góc nội tiếp đường tròn \((O)\) vì có đỉnh \(A\) nằm trên đường tròn, hai dây \(AB,\ AC\) là các dây của \((O).\)

Cung \(\stackrel\frown{BC}\) (phần cung có màu xanh) được gọi là cung bị chắn.

+) Góc \(\widehat{BAC}\) ở hình \(b)\) không phải là góc nội tiếp đường tròn \((O)\) vì có đỉnh \(A\) là điểm nằm ngoài đường tròn \((O).\)

Cung \(\stackrel\frown{BC}\) (phần cung tròn mà cam) không được gọi là cung bị chắn.

Như vậy, để chỉ ra một góc không phải góc nội tiếp, ta chỉ cần chỉ ra góc đó không thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

+) Đỉnh của góc không nằm trên đường tròn.

+) Có ít nhất một cạnh không chứa dây cung của đường tròn.


Định lí [edit]

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Chứng minh:

Xét đường tròn tâm \(O\) và góc \(\widehat{BAC}\) nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Ta cần chứng minh

\(\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BC}.\)

Để chứng minh định lí trên, ta xét ba trường hợp sau:

a) Tâm \(O\) nằm trên một cạnh của góc \(\widehat{BAC}.\)


Từ hình vẽ, ta có: \(A,\ C \in (O)\) nên \(OA=OB\)

\(\Rightarrow \Delta OAB\) cân tại \(O\)

\(\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{C_1}\) (hai góc ở đáy)

Theo định lí về góc ngoài của tam giác, ta có:

     \(\widehat{O_1}=\widehat{A_1}+\widehat{C_1}\)  \((\)\(\widehat{A_1}=\widehat{C_1} )\)

\(\Rightarrow \widehat{O_1}=2. \widehat{A_1}\)

\(\Rightarrow \widehat{A_1}=\dfrac{1}{2} \widehat{O_1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\)

Lại có \(\widehat{O_1}\) là góc ở tâm chắn cung nhỏ \(\stackrel\frown{BC}\) nên \(\widehat{O_1}=\)\(\stackrel\frown{BC}\ (2)\)

Từ \((1)\)\((2)\) suy ra \(\widehat{A_1}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BC}.\) Hay \(\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BC}. \square\)


b) Tâm \(O\) nằm trong góc \(\widehat{BAC}.\)


Kẻ đường kính \(AD.\) Khi đó góc \(\widehat{BAC}\) được chia thành hai góc \(\widehat{A_1}\)\(\widehat{A_2}\) có một cạnh \(AD\) chứa tâm \(O\) của đường tròn. Theo kết quả từ câu a), ta có:

\(\widehat{A_1}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BD}\)

\(\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{DC}\)

Vì điểm \(O\) nằm trong góc \(\widehat{BAC}\) nên tia \(AO\) nằm giữa tia \(AB\)\(AC\), suy ra:

\(\widehat{BAC}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BD} + \dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{DC}\ \ (*)\)

Lại có \(D\) là điểm thuộc cung tròn \(\stackrel\frown{BC}\) nên ta có:

     sđ \(\stackrel\frown{BD}+\)\(\stackrel\frown{DC}=\)\(\stackrel\frown{BC}\) 

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BD}+\) \(\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{DC}=\) \(\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BC}.\)

Thay vào \((*)\) ta được: \(\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\) sđ \(\stackrel\frown{BC}.\ \square\)


c) Tâm \(O\) nằm bên ngoài góc \(\widehat{BAC}.\)


Kẻ đường kính \(AD.\) Khi đó hai góc \(\widehat{A_2}\)\(\widehat{BAD}\) là hai góc có một cạnh \(AD\) chứa điểm \(O.\)

Theo kết quả từ câu a), ta được:

\(\widehat{BAD}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BD},\)

\(\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{CD}.\)

Vì điểm \(O\) nằm ngoài góc \(\widehat{BAC}\) nên tia \(AC\) nằm giữa tia \(AB\)\(AD.\) Nên ta có:

     \(\widehat{BAD}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}\)

\(\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{BAD} -\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BD} - \dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{CD}\)

\(\Rightarrow \widehat{A_1}  \widehat{A_1}=\dfrac{1}{2}\) \((\)\(\stackrel\frown{BD}-\)\(\stackrel\frown{CD} ) =\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BC}.\)

Vậy \(\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\) sđ \( \stackrel\frown{BC}. \)


Hệ quả [edit]

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.


\( \left. \begin{array}{ll} \widehat{A_1}\ \text{là góc nội tiếp chắn cung}\ \stackrel\frown{BC}\\ \widehat{A_2}\ \text{là góc nội tiếp chắn cung}\ \stackrel\frown{CD}\\ \stackrel\frown{BC}=\stackrel\frown{CD} \end{array} \right\} \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2} \)


b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.


\( \left. \begin{array}{ll} \widehat{A}\ \text{là góc nội tiếp chắn cung}\ \stackrel\frown{CD}\\ \widehat{B}\ \text{là góc nội tiếp chắn cung}\ \stackrel\frown{CD} \end{array} \right\} \Rightarrow \widehat{A}=\widehat{B} \)


c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng \(90^{\circ}\) ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.


\( \left. \begin{array}{ll} \widehat{A_1}\ \text{là góc nội tiếp chắn cung}\ \stackrel\frown{BC} \\ \widehat{O_1}\ \text{là góc ở tâm chắn cung}\ \stackrel\frown{BC} \end{array} \right\} \Rightarrow \widehat{A_1} =\dfrac{1}{2} \widehat{O_1} \)


d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.


     \(\widehat{A}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{BC}\) chắn nửa đường tròn \((O)\)

\(\Rightarrow \widehat{A}=90^{\circ}.\)