Lý thuyết: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Định nghĩa [edit]

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn đó.

Như vậy, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cần thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Đỉnh nằm trên đường tròn.

2. Một cạnh chứa tiếp tuyến của đường tròn.

3. Cạnh còn lại chứa dây cung của đường tròn.

Chỉ cần vi phạm một trong ba điều kiện trên thì không phải là góc tại bởi tia tiếp tuyến và dây cung.


Ví dụ 1: Xét đường tròn \((O)\)\(Ay\) là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A.\)


Khi đó góc \(\widehat{BAx}\) ở hình a) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung vì thỏa mãn cả \(3\) điều kiện:

1. Đỉnh \(A\) thuộc đường tròn \((O),\)

2. Cạnh \(Ax\) là tia tiếp tuyến,

3. Cạnh \(AB\) là dây cung của đường tròn.

Và góc \(\widehat{BAx}\) chắn cung nhỏ \(AB.\)

Góc \(BAx\) ở hình b) không phải là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, vì:

1. Đỉnh \(A\) thuộc đường tròn \((O),\)

2. Cạnh \(Ax\) laf tiếp tuyến,

3. Cạnh \(AB\) không chứa dây cung của đường tròn tâm \(O.\)


Định lí [edit]

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo góc của cung bị chắn.

Chứng minh:

Để chứng minh định lí, ta xét các trường hợp sau:

a) Tâm \(O\) nằm trên cạnh chứa dây cung \(AB\) (hay dây \(AB\) là đường kính)


\(O \in AB\) nên \(AB\) là đường kính.

\(\Rightarrow \widehat{BAx}=90^{\circ},\)

\(\Rightarrow\)\(\stackrel\frown{AB}=180^{\circ}.\) 

Do đó \(\widehat{BAx}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{AB}.\ \square\)


b) Tâm \(O\) nằm bên ngoài góc \(BAx\).

Kẻ đường cao \(AH\) và kí hiệu các góc như hình vẽ dưới. Ta sẽ chứng minh \(\widehat{BAx}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{AB}.\)


\(OH \bot AB\) nên \(\widehat{OHA}=90^{\circ}.\) Do đó \(\widehat{O_1}+\widehat{A_1}=90^{\circ}\ \ (1)\)

\(Ax\) là tiếp tuyến cuả đường tròn \((O)\) nên \(OA \bot Ax\)

\(\Rightarrow \widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^{\circ}\ \ (2)\) 

Từ \((1)\)\((2)\) suy ra \(\widehat{O_1}=\widehat{A_2}.\)

Lại có \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) nên đường cao \(OH\) đồng thời là phân giác của \(\widehat{AOB}\)

\(\Rightarrow \widehat{AOB}=2 \widehat{O_1}=2 \widehat{A_2}\)

Mặt khác, \(\widehat{AOB}\) là góc ở tâm chắn cung nhỏ \(BC\) nên \(\widehat{AOB}=\)\(\stackrel\frown{AB}\)

\(\Rightarrow 2 \widehat{A_2}=\)\(\stackrel\frown{AB}\) nên \(\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{AB}.\ \square\)


c) Tâm \(O\) nằm bên trong góc \(BAx\).

Kẻ đường kính \(AC\) và kí hiệu các góc như hình dưới đây. Ta cần chỉ ra \(\widehat{BAx}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{ACB}\)


Khi đó, góc \(\widehat{BAx}\) bao gồm hai góc \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{A_2}.\)

Theo a) ta có \(\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{AC}.\)

Lại có \(\widehat{A_2}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \(BC\)

\(\Rightarrow \widehat{A_1}=\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BC}.\)

Do đó:

     \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}= \dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BC}+ \dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{AC}\)

\(\Rightarrow \widehat{BAx}= \dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{ACB}.\ \square\)


Hệ quả [edit]

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.


Góc \(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \(\stackrel\frown{BmC}.\)

Góc \(\widehat{BCy}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến \(Cy\) và dây cung \(CB\) chắn cung nhỏ \(\stackrel\frown{BmC}.\)

Khi đó \(\widehat{BAC}=\widehat{BCy} =\dfrac{1}{2}\)\(\stackrel\frown{BmC}.\)