Lý thuyết: Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp

Định nghĩa [edit]

Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Ví dụ:


Tứ giác \(ABCD\) ở hình a) được là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(O\) vì cả bốn đỉnh \(A\ B,\ C\)\(D\) đều nằm trên đường tròn \((O).\)

Tứ giác \(MNPE\) ở hình b) không phải là tứ giác nội tiếp vì có một đỉnh \(E\) không nằm trên đường tròn.

Như vậy, chỉ cần ít nhất một đỉnh của tức giác không thuộc đường tròn thì tứ giác không phải là tứ giác nội tiếp đường tròn đó.

Chú ý:

- Đường tròn \((O)\) được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABCD.\)

- Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng luôn xác định được duy nhất một đường tròn nên mọi tam giác đều có đường tròn ngoại tiếp nhưng không phải mọi tứ giác đều có đường tròn ngoại tiếp.


Định lí [edit]

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối bằng \(180^{\circ}.\)

Chứng minh:

Xét tứ giác \(ABCD\) có bốn đỉnh nằm trên đường tròn \((O).\)  Ta cần chứng minh:

\(\widehat{A} + \widehat{C} =180^{\circ}\)  và  \(\widehat{B} + \widehat{D} =180^{\circ}.\)


Ta có:

+) \(\widehat{A}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{BCD}\) \(\Rightarrow \widehat{A} =\dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BCD}.\)

+) \(\widehat{C}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{BAD}\) \(\Rightarrow \widehat{C} =\dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BAD}.\)

Do đó:

     \(\widehat{A} + \widehat{C} =\dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BCD} + \dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BAD}\)

\(\Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{C}= \dfrac{1}{2} (sđ \stackrel\frown{BCD} + sđ \stackrel\frown{BAD} )\)

\(\Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{C}=\dfrac{1}{2} . 360^{\circ}\)

\(\Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{C}=180^{\circ}.\ \square\)

Lập luận tương tự, ta cũng có: \(\widehat{B} + \widehat{D}=180^{\circ}.\ \square\)


Định lí đảo [edit]

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng \(180^{\circ}\) thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Chứng minh:

Xét tứ giác \(ABCD\)\(\widehat{B} + \widehat{D} =180^{\circ}.\) Ta cần chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn.


Ta đã biết: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng luôn xác định được duy nhất một đường tròn.

\(A,\ B,\ C\) là ba điểm phân biệt không thẳng hàng nên ta có thể vẽ được đường tròn tâm \(O\) qua ba điểm \(A,\ B,\ C.\) Khi đó dây \(AC\) chia đường tròn thành hai cung \(AnC\)\(AmC.\)

Lại có, mọi điểm nằm trên cung \(AmC\) đều nhìn cạnh \(AC\) một góc bằng \(180^{\circ}- \widehat{B}.\)

Theo giả thiết, \(\widehat{B} + \widehat{D} =180^{\circ}\) nên \(\widehat{D} =180^{\circ} - \widehat{B}.\)

Do đó điểm \(D\) nằm trên cung \(AmC.\)

Vậy tứ giác \(ABCD\) có cả bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn \((O).\ \square\)


Dấu hiệu nhận biết [edit]

Các tứ giác có một trong các đặc điểm sau đây đều là tứ giác nội tiếp:

1. Tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật hoặc hình vuông.

\(ABCD\) là hình vuông nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.


2. Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn (hay tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm).

\(OA=OB=OC=OD\) nên tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn.


3. Tứ giác có tổng số đo của hai góc đối nhau bằng \(180^{\circ}.\)

\(\widehat{A} + \widehat{C} =180^{\circ}\) nên tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn.


4. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn xuống cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau.

Tứ giác \(ABCD\) có hai góc \(\widehat{A_1}, \widehat{B_1}\) cùng nhìn cạnh \(DC\) và \(\widehat{A_1}= \widehat{B_1}\) nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.


5. Tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện.


Tứ giác \(ABCD\) có góc ngoài \(\widehat{D_1} =\widehat{B}\) nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.