Lý thuyết: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Diện tích hình tròn [edit]


Diện tích \(S\) của một hình tròn bán kính \(R\) được tính theo công thức

\(S= \pi R^2.\)

trong đó: \(\pi\) là hằng số và \(\pi \approx 3,14;\)

\(R\) là bán kính của đường tròn.

Ví dụ: Tính diện tích hình tròn đường kính \(26\ cm.\)


Giải: 

Hình tròn đường kính \(d=26\ cm\) nên bán kính bằng: \(R=\dfrac{d}{2}=\dfrac{26}{2}=13\ cm.\)

Do đó, diện tích hình tròn là: \(S=\pi R^2= \pi. 13^2=169 \pi \approx 530,66\ cm^2.\)


Hình quạt tròn [edit]

Một số hình ảnh của hình quạt tròn trong thực tế:


Chiếc quạt khi xòe có hình dáng là một hình quạt tròn.

Hình quạt tròn là một phần của hình tròn được giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.


Ở hình trên, \(OAB\) là một hình quạt tròn có tâm \(O,\) bán kính \(R\) và cung \(n^{\circ}.\)


Diện tích của hình quạt tròn [edit]

Xét hình tròn tâm \(O\) bán kính \(R.\) Ta đã biết \(S=\pi R^2\) là công thức tính diện tích cả hình tròn.

Vậy với một cung tròn có số đo \(n^{\circ}\) tùy ý thì diện tích được tính như thế nào? 

Ta xét:

Cung \(360^{\circ} \longrightarrow S=\pi R^2\)

Cung \(1^{\circ}        \longrightarrow S_1=\dfrac{1^{\circ}}{360^{\circ}}. \pi R^2=\dfrac{\pi R^2}{360}\)

Cung \(n^{\circ}        \longrightarrow S_n=?\)

Từ sơ đồ trên, sử dụng phương pháp nhân chéo để tìm \(S_n,\) ta được:

\(S_n=\dfrac{n^{\circ}.S_1}{1^{\circ}}=\dfrac{n.\pi R^2}{360}.\)

Do đó cung \(n^{\circ}\) có diện tích bằng \(S_n=\dfrac{\pi R^2 n}{360}.\)

Mặt khắc, độ dài cung \(n^{\circ}\) được tính theo công thức \(l=\dfrac{\pi Rn}{180}\) nên ta có thể viết lại như sau:

\(S=\dfrac{\pi R^2n}{360}=\dfrac{\pi Rn}{180}. \dfrac{R}{2}=l.\dfrac{R}{2}=\dfrac{lR}{2}.\)

Như vậy, có thể tính diện tích hình quạt tròn khi biết độ dài cung.

Kết luận:

Diện tích hình quạt tròn được tính theo công thức

\(S=\dfrac{\pi R^2n}{360}\) hay \(S=\dfrac{l.R}{2};\)

trong đó \(l\) là độ dài cung;

\(n^{\circ}\) là số đo cung;

\(R\) là bán kính cung tròn.

Ví dụ: Tính diện tích của các hình quạt tròn sau:

a) 


Giải:

Cung tròn \(OAB\) bán kính \(R=4,\) số đo cung bằng \(n^{\circ}=80^{\circ}\) thì diện tích là:

\(S=\dfrac{\pi .4^2 . 80 }{360}=\dfrac{32 \pi }{9} \approx 12.\)

b


Giải:

Cung \(MN\) có độ dài bằng \(25,12\) nên hình quạt \(OMN\) có diện tích là:

\(S=\dfrac{l.R}{2}=\dfrac{25,12 . 10}{2}=125,6.\)