Lý thuyết: Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Thứ tự trên tập hợp số [edit]

Trên tập hợp số thực \(\mathbb{R},\) với hai số \(a\)\(b, \) ta luôn có một trong ba trường hợp sau:

Trường hợp 1: Số \(a\) bằng số \(b, \) kí hiệu \(a=b. \)

Trường hợp 2: Số \(a\) nhỏ hơn số \(b, \) kí hiệu \(a<b. \)

Trường hợp 3: Số \(a\) lớn hơn số \(b, \) kí hiệu \(a>b. \)

Khi biểu diễn số thực trên trục số (vẽ theo phương nằm ngang), điểm biểu diễn số nhỏ hơn ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn.


+) Nếu số \(a\) không nhỏ hơn số \(b, \) thì phải có hoặc \(a>b, \) hoặc \(a=b. \)

Khi đó, ta nói gọn là \(a\) lớn hơn hoặc bằng \(b. \)

Kí hiệu: \(a \geq b\)

Trường hợp đặc biệt:

\(x^2 \geq 0\) với mọi \(x\)

Ví dụ 1:

\(c \geq 0\) đọc là \(c\) là số không âm

+) Nếu số \(a\) không lớn hơn số \(b, \) thì phải có hoặc \(a<b, \) hoặc \(a=b. \)

Khi đó, ta nói gọn là \(a\) nhỏ hơn hoặc bằng \(b. \)

Kí hiệu: \(a \leq b\)

Trường hợp đặc biệt:

\(-x^2 \leq 0\) với mọi \(x\)

Ví dụ 2:

\(y \leq 5\) đọc là \(y\) không lớn hơn \(5.\)


Bất đẳng thức [edit]

Định nghĩa:

Ta gọi hệ thức dạng \(a<b\ (\)hay \(a>b,\ a \leq b,\ a \geq b) \) là bất đẳng thức.

Trong đó: \(a\) là vế trái, \(b\) là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ 3:

Bất đẳng thức \(4+(-10)<2+(-7) \) có vế trái là \(4+(-10), \) vế phải là \(2+(-7). \)


Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng [edit]

Tính chất:

Với ba số \(a,\ b\)\(c, \) ta có:

Nếu \(a<b\) thì \(a+c<b+c; \)

Nếu \(a \leq b\) thì \(a+c \leq b+c; \)

Nếu \(a>b\) thì \(a+c>b+c; \)

Nếu \(a \geq b\) thì \(a+c \geq b+c\)

Ví dụ 4:

Hai bất đẳng thức \(-7>-10\)\(-5>-9\) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Kết luận:

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ví dụ 5:

Chứng minh: \(2020+(-15)<2030+(-15)\ \ \ \ (1) \)

Giải:

Để ý rằng, hai vế của bất đẳng thức \((1)\) cùng có \((-15).\) Do đó ta sẽ đi so sánh hai số khác nhau ở hai vế. 

Tức là, ta đi so sánh \(2020\)\(2030.\)

Ta có:

\(2020<2030\ (1) \)  

\(\Rightarrow 2020+(-15)<2030+(-15)\) \((\)cộng \( (-15) \) vào cả hai vế của bất đẳng thức \((1))\).

Vậy \(2020+(-15)<2030+(-15). \square \)

Ví dụ 5:

Dựa vào thứ tự giữa \(\sqrt{2}\)\(3\) trên trục số, hãy so sánh \(\sqrt{2}+4\)\(7.\)

Giải:

Quan sát trục số, ta thấy:

Điểm biểu diễn số \(\sqrt{2}\) ở bên trái điểm biểu diễn số \(3\) nên \(\sqrt{2}<3. \)

Khi đó:
\(\sqrt{2}<3 \)
\(\Rightarrow \sqrt{2}+4<3+4\ (\) cộng \(4\) vào cả hai vế của bất đẳng thức \(\sqrt{2}<3)\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}+4<7.\)
Vậy \(\sqrt{2}+4<7.\square\)

Chú ý:

Tính chất của thứ tự cũng chính là tính chất của bất đẳng thức.