Lý thuyết: Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Hình trụ [edit]

Trong sách giáo khoa không đưa ra định nghĩa cụ thể cho hình trụ, tuy nhiên ta có thể hiểu khái niệm hình trụ như sau:

Hình trụ là hình được tạo ra khi quay một hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định của nó.

Ví dụ: Hình trụ dưới đây được tạo ra khi quay hình chữ nhật \(ABCD\) một vòng quanh cạnh \(CD.\)


Khi đó:

+) Hai đường tròn \((D;DA)\)\((C; CB)\) là hai đáy của hình trụ.

+) Cạnh \(AB\) quét nên mặt xung quanh của hình trụ (là mặt cong khép kín).

+) Độ dài cạnh \(AB\) là chiều cao của hình trụ.

+) Cạnh \(DC\) là trục của hình trụ.

+) Mỗi vị trí của cạnh \(AB\) là một đường sinh.

Ta có thể hiểu đường sinh của hình trụ là các đoạn thẳng bằng nhau và cùng song song với trục của hình trụ. Chẳng hạn, hình trụ được tạo bởi các que kem như sau:


Hình trụ làm từ que kem (Ảnh: Sưu tầm)

Mỗi que kem là một đường sinh của hình trụ (các đường ghép lại với nhau thành hình trụ).

Dưới đây là một số hình ảnh của hình trụ trong thực tế:


Khi hình trụ bị cắt bởi mặt phẳng song song với hai đáy thì mặt cắt là một hình tròn bằng hình tròn ở đáy (hình bên trái)

Khi hình trụ bị cắt bởi mặt phẳng song song với trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật (hình bên phải)


Diện tích xung quanh [edit]

Hình trụ được giới hạn bởi mặt xung quanh và hai đáy là hai hình tròn bằng nhau. Cắt rời hai đáy và cắt dọc theo một đường sinh ta được hình như sau:


Trong đó, bán kính hình tròn của đáy là \(r=2\ cm,\)

                  chiều cao hình trụ là \(h=4\ cm.\)

Độ dài đoạn \(AC\) bằng chu vi một đáy của hình trụ.

Do đó \(AC=2.\pi.r=2.\pi. 2=4 \pi\ cm.\)

Diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) là:

\(\begin{align} S_{ABCD} &=AC.AB=(2 \pi r).h\\&=4\pi . 4=16 \pi\ cm^2. \end{align}\)

Diện tích một đáy của hình trụ:

\(S_{đ}=\pi r^2 = \pi . 2^2=4 \pi\ cm^2.\)

Tổng diện tích mặt xung quanh và hai đáy của hình trụ:

\(\begin{align} S &=S_{ABCD}+2.S_{đ}\\&= 2 \pi rh+ 2. \pi r^2\\&=16 \pi+ 2.4 \pi\\&=24 \pi\ cm^2. \end{align}\)

Khi đó, diện tích xung quanh của hình trụ bằng diện tích của hình chữ nhật \(ABCD.\) Diện tích toàn phần bằng tổng diện tích hai mặt đáy và diện tích xung quanh của hình trụ.

Tổng quát

Với hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) ta có:

Diện tích xung quanh:

\(S_{xq}=2 \pi rh\)

Diện tích toàn phần:

\(S_{tp}=S_{xq}+2. S_{đ}\)


Thể tích [edit]

Để tính thể tích của hình trụ cao \(n\) (đơn vị) ta cắt hình trụ thành \(n\) phần bằng nhau như hình dưới:


Khi đó, mỗi phần là một hình tròn có cùng bán kính với bán kính đáy \((R)\) của hình trụ.

Vì diện tích mỗi hình tròn bằng \(S=\pi R^2\) nên thể tích của hình trụ bằng tổng diện tích các hình tròn nên ta có:

\(V_{\text{trụ}}=n.S\)

\(n\) chính là chiều cao của hình trụ và \(S\) là diện tích đáy. Do đó công thức tính thể tích hình trụ có chiều cao \(h\) và bán kính \(R\) là:

\(V=S.h=\pi R^2 h.\ \square\)

Kết luận

Thể tích của hình trụ được tính theo công thức

\(V=S.h=\pi r^2h\)

trong đó: \(S\) diện tích đáy;

                 \(h\) chiều cao hình trụ;

                 \(r\) bán kính của đáy.