Lý thuyết: Hình nón - Hình nón cụt

Hình nón-Hình nón cụt

Hình nón [edit]

Trong sách giáo khoa không đưa ra một định nghĩa cụ thể cho hình nón, tuy nhiên ta có thể hiểu khái niệm hình nón như sau:

Hình nón là hình được tạo ra khi quay tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định.

Ví dụ: Khi quay một vòng tam giác vuông \(\Delta OAC\) quanh cạnh góc vuông \(AO\) ta được hình nón như sau:


Khi đó:

+) Cạnh góc vuông \(OC\) quét nên một hình tròn, gọi là đáy của hình nón.

+) Cạnh huyền \(AC\) quét nên mặt xung quanh của hình nón.

+) Mỗi vị trí của của \(AC\) là một đường sinh.

+) Điểm \(A\) gọi là đỉnh của hình nón.

+) Cạnh \(AO\) gọi là đường cao của hình nón.

Một số hình ảnh của hình nón trong thực tế:



Diện tích xung quanh của hình nón [edit]

Khai triển một hình nón ra như sau:


Phần thân nón là một hình quạt tròn có tâm là đỉnh nón, bán kính bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng độ dài đường tròn đáy của hình nón.

Đáy của hình nón là một hình tròn nên diện tích hình tròn đáy có bán kính \(r\) là:

\(S_{đ}=\pi r^2\)

Độ dài đáy của hình nón là chu vi hình tròn và bằng \(2\pi r.\)

Lại có, độ dài cung hình quạt \(SAB\) bằng \(\dfrac{\pi l n}{180}.\) Do đó

     \(2 \pi r= \dfrac{\pi l n}{180}\)

\(\Leftrightarrow r=\dfrac{l n}{360}\)

Diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích hình quạt tròn \(SAB\) có tâm \(S\) và bán kính \(l.\) 

Do đó 

\(S_{xq}=S_{SAB}=\dfrac{\pi l^2 n}{360}=\pi l . \dfrac{ln}{360}=\pi r l\)

Diện tích toàn phần bằng tổng diện tích hình quạt tròn \(SAB\) và hình tròn đáy \((O).\)

\(S_{tp}=S_{xq}+S_{đ}=\pi r l+ \pi r^2.\ \square\)

Kết luận

Nếu hình nón có bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh là \(l\) thì:

\(Sxq=\pi r l\)

                  \(S_{tp}=\pi r l+ \pi r^2\)


Thể tích của hình nón [edit]

Với hai dụng cụ , một hình trụ và một hình nón có đáy là hai hình tròn bằng nhau và cùng chiều cao. Múc đầy nước vào dụng cụ có dạng hình nón rồi đổ hết vào dụng cụ hình trụ thì thấy chiều cao của cột nước chỉ bằng \(\dfrac{1}{3}\) chiều cao của hình trụ và phải đổ \(3\) lần thì đầy hình trụ:


Do đó

\(V_{\text{nón}}=\dfrac{1}{3} V_{\text{trụ}}\)

Lại có, thể tích của hình trụ được tính bởi công thức

\(V_{\text{trụ}}=S.h=\pi r^2 h.\)

Vậy thể tích của hình nón là

\(V_{\text{nón}}=\dfrac{1}{3}. \pi r^2 h.\ \square\)

Kết luận:

Thể tích của hình nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\)  được tính bằng công thức 

\(V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h.\)


Hình nón cụt [edit]

Hình nón cụt có thể được tạo ra từ hình nón khi một mặt phẳng song song với đáy cắt một phần phía đỉnh của hình nón


Hay hình nón cụt được tạo ra khi quay hình thang vuông một vòng quanh cạnh bên vuông góc với hai đáy. Chẳng hạn, khi quay hình thang vuông \(ABCD\ (AB//CD)\) một vòng quanh cạnh \(AD\) ta được hình nón cụt như hình bên phải:



Khi đó:

+) Hai cạnh đáy của hình thang \(AB,\ CD\) quét nên hai hình tròn bán kính \(r_1\)\(r_2\) gọi là hai đáy của hình nón cụt.

+) Cạnh bên (cạnh không vuông góc với đáy) \(CB\) quét nên mặt xung quanh của hình nón cụt.


Diện tích xung quanh của hình nón cụt [edit]

          Cắt hình nón lớn có bán kính đáy \(r_2,\) đường sinh \(l\) bởi một mặt phẳng song song với đáy tạo thành hình nón nhỏ bán kính đáy \(r_1,\) đường sinh \(l_1\) và hình nón cụt có bán kính đáy \(r_1,\ r_2;\) đường sinh \(l_2\) như sau:


Khi đó \(l=l_1+l_2.\) Dễ thấy diện tích xung quanh của hình nón cụt \((S_2)\) bằng hiệu diện tích xung quanh của hình nón lớn \((S)\) và hình nón nhỏ \((S_1)\) nên ta có:

     \(S_2=S-S_1\)

\(\Leftrightarrow S_2=\pi r_2 l -\pi r_1 l_1\)            \((\) thay \(l=l_1+l_2)\)

\(\Leftrightarrow S_2=\pi r_2 (l_1+l_2) - \pi r_1 l_1\) 

\(\Leftrightarrow S_2=\pi r_2l_1 + \pi r_2l_2 -\pi r_1 l_1\ \ \ \ \ \ \  \ \ (1)\)

Lại có \(\Delta SIA \backsim \Delta SOB\) (g.g)

\(\Rightarrow \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{IA}{OB}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{l_1}{l}=\dfrac{r_1}{r_2}\)

\(\Leftrightarrow r_2 l_1=r_1 l\)             \((\) thay \(l=l_1+l_2)\)

\(\Leftrightarrow r_2l_1=r_1 (l_1+l_2)\  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\)

Thay \((2)\) vào vị trí của \(r_2l_1\) trong \((1)\) ta được:

     \(S_2=\pi r_1 (l_1+l_2) + \pi r_2 l_2 - \pi r_1 l_1\)

\(\Leftrightarrow  S_2=\pi r_1 l_1 + \pi r_1 l_2 + \pi r_2 l_2 - \pi r_1 l_1\)

\(\Leftrightarrow S_2=\pi r_1 l_2 + \pi r_2  l_2 \)

\(\Leftrightarrow  S_2= \pi (r_1+ r_2) l_2.\ \square\)

Kết luận

Diện tích xung quanh của hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ \(r_1,\) đáy lớn \(r_2\) và đường sinh \(l\) là:

\(S_{xq}=\pi (r_1+r_2) l\) 


Thể tích của hình nón cụt [edit]

Cắt một hình nón lớn bán kính đáy \(r_2\) chiều cao \(h\) bởi một mặt phẳng song song với đáy tạo thành một hình nón nhỏ bán kính đáy \(r_1\) chiều cao \(h_1\) và hính nón cụt đáy \(r_1,\ r_2;\) chiều cao \(h_2\) như sau:


Dễ thấy, thể tích của hình nón cụt \((V)\) bằng hiệu thể tích của hình nón lớn \((V_1)\) và hình nón nhỏ \((V_2).\) Tức là:

      \(V=V_1-V_2\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 - \dfrac{1}{3} \pi r_2^2 h_2\ \ \ \ \ \ \ (1)\)

Lại có \(\Delta SIA \backsim \Delta SOB\) (g.g)

\(\Rightarrow \dfrac{SI}{SO}=\dfrac{IA}{OB} \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{h_2}{h_1}=\dfrac{r_2}{r_1}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{h_2}{h_1-h_2}=\dfrac{r_2}{r_1-r_2}\\ \dfrac{h_1-h_2}{h_1}=\dfrac{r_1-r_2}{r_1} \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{h_2}{h}=\dfrac{r_2}{r_1-r_2} \\ \dfrac{h}{h_1}=\dfrac{r_1-r_2}{r_1} \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} h_2=\dfrac{hr_2}{r_1-r_2} \\ h_1=\dfrac{hr_1}{r_1-r_2} \end{array} \right.\ \ \ (2)\)

Thay \((2)\) vào \((1)\) ta được:

     \(V=\dfrac{\pi}{3}.(r_1^2 h_1 - r_2^2 h_2)\)

\(\Leftrightarrow V= \dfrac{\pi}{3}. \left(r_1^2 .\dfrac{hr_1}{r_1 -r_2} - r_2^2. \dfrac{hr_2}{r_1-r_2} \right) \) 

\(\Leftrightarrow  V=\dfrac{\pi}{3}. \left( \dfrac{h r_1^3}{r_1 -r_2} -\dfrac{h r_2^3}{r_1 - r_2} \right) \)

\(\Leftrightarrow  V=\dfrac{\pi h}{3} .\dfrac{r_1^3 -r_2^3}{r_1-r_2}\)

\(\Leftrightarrow  V=\dfrac{\pi h}{3}. \dfrac{(r_1-r_2)(r_1^2+r_1 r_2 + r_2^2)}{r_1 -r_2}\)

\(\Leftrightarrow V=\dfrac{\pi h}{3} .(r_1^2 + r_1 r_2 +r_2^2)\)

\(\Leftrightarrow  V=\dfrac{1}{3} \pi h (r_1^2+r_2^2+r_1r_2).\ \square\)

Kết luận

Thể tích của hình nón cụt có bán kính đáy \(r_1,\ r_2;\) đường cao \(h\) được tính theo công thức:

\(V=\dfrac{1}{3} \pi h (r_1^2+r_2^2+r_1r_2).\)