Lý thuyết: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương [edit]

Ví dụ 1:

Cho bất đẳng thức \(-1<3\)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(-1<3\) với \(2, \) ta được bất đẳng thức:

\( (-1).2<3.2\ (\)\(-2<6) \)

Ví dụ 2:

Cho bất đẳng thức \(-1<3\)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(-1<3\) với \(2020, \) ta được bất đẳng thức:

\( (-1).2020<3.2020\ (\)\(-2020<6060)\)

Tính chất:

Với ba số \(a,\ b\)\(c\)\(c>0, \) ta có:

Nếu \(a<b\) thì \(ac<bc;\) nếu \(a \leq b\) thì \(ac \leq bc; \)

Nếu \(a>b\) thì \(ac>bc; \) nếu \(a \geq b\) thì \(ac \geq bc. \)

Kết luận:

Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ví dụ 3:

So sánh \( (-23,5).7,5\)\( (-23,05).7,5.\)

Lời giải:
Ta có: \(-23,5<-23,05\ \ \ (*)\)

\(7,5>0\) nên nhân \(7,5\) vào cả hai vế của bất đẳng thức \((*)\) ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. 

Tức là:

\(\begin{align}-23,5&<-23,05 \\ \Rightarrow (-23,5).7,5 &< (-23,05).7,5 \end{align}\)

Vậy \((-23,5).7,5 < (-23,05).7,5.\)

Ví dụ 4:

Cho \(5a<5b. \) So sánh \(a\)\(b. \)

Lời giải:

Ta có: \(5a<5b\ \ \ (*)\)

\(\dfrac{1}{5}>0\) nên nhân \(\dfrac{1}{5}\) vào cả hai vế của bất đẳng thức \((*)\) ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. 

Tức là:

\(\begin{align}5a&<5b \\ \Rightarrow \dfrac{1}{5}.5a&<\dfrac{1}{5}.5b \end{align}\)

Hay \(a<b.\)

Chú ý:
Tính chất trên cũng đúng với phép chia:
Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm [edit]

Ví dụ 5:

Cho bất đẳng thức \(-1<3\)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(-1<3\) với \( (-2),\) ta được bất đẳng thức:

\( (-1).(-2)>3.(-2)\ (\)\(2>-6) \)

Ví dụ 6:

Cho bất đẳng thức \(-1<3\)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(-1<3\) với \( (-2020 )\), ta được bất đẳng thức:

\( (-1).(-2020)>3.(-2020)\ (\)\(2020>-6060)\)

Tính chất:

Với ba số \(a,\ b\)\(c\)\(c<0, \) ta có:

Nếu \(a<b\) thì \(ac>bc; \) nếu \(a \leq b\) thì \(ac \geq bc; \)

Nếu \(a>b\) thì \(ac<bc; \) nếu \(a \geq b\) thì \(ac \leq bc. \)

Kết luận:

Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ví dụ 7:

So sánh \( (-9,5).12,5\)\( (-9,5).15,2.\)

Lời giải:

Ta có: \(12,5<15,2\ \ \ (*)\)

\(-9,5<0\) nên nhân \(-9,5\) vào cả hai vế của bất đẳng thức \((*)\) ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. 

Tức là:

\(\begin{align}12,5&<15,2 \\ \Rightarrow (-9,5).12,5 &> (-9,5).15,2 \end{align}\)

Vậy \((-9,5).12,5 > (-9,5).15,2.\) 

Ví dụ 8:

Cho \(-10a \geq -10b. \) So sánh \(a\)\(b.\)

Lời giải:

Ta có: \(-10a \geq -10b\ \ \ (*)\)

\(\dfrac{-1}{10}<0\) nên nhân \(\dfrac{-1}{10}\) vào cả hai vế của bất đẳng thức \((*)\) ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. Tức là:

\(\begin{align}-10a& \geq -10b \\ \Rightarrow \dfrac{-1}{10}.(-10)a& \leq \dfrac{-1}{10}.(-10)b \end{align}\)

Hay \(a\leq b.\)

Chú ý:
Tính chất trên cũng đúng với phép chia:
Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Tính chất bắc cầu của thứ tự [edit]

Với ba số \(a,\ b\)\(c: \)

Nếu \(a<b\)\(b<c\) thì \(a<c; \) nếu \(a \leq b\)\(b \leq c\) thì \(a \leq c; \)

Nếu \(a>b\)\(b>c\) thì \(a>c; \) nếu \(a \geq b\)\(b \geq c\) thì \(a \geq c.\)

Ví dụ 9:

Cho \(a<b. \) Chứng minh \(a-5<b-2. \)

Lời giải:

Cộng \( (-5) \) vào cả hai vế của bất đẳng thức \(a<b, \) ta được:

\(a+(-5)<b+(-5) \) hay \(a-5<b-5\)                         \( (1) \)

Cộng \(b\) vào hai vế của bất đẳng thức \(-5<-2, \) ta được:

\( (-5)+b<(-2)+b\) hay \(b-5<b-2\)                         \( (2) \)

Từ \( (1) \)\( (2), \) theo tính chất bắc cầu, suy ra:

\(a-5<b-2.\square\)