Lý thuyết: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Định nghĩa [edit]

Đường trung trực của tam giác là đường trung trực của ba cạnh trong tam giác đó.

Vì tam giác có ba cạnh nên mỗi tam giác có ba đường trung trực.

Ví dụ 1: \(\Delta ABC\) có ba đường trung trực \(a,\ b,\ c\) như hình dưới:


Trong đó:

+) \(a\) là đường trung trực của cạnh \(BC.\)

+) \(b\) là đường trung trực của cạnh \(AC.\)

+) \(c\) là đường trung trực của cạnh \(AB.\)

Đối với tam giác cân, ta có tính chất sau:

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

Ví dụ 2: Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)

Ta có:

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)\(AI\) là đường trung trực ứng với cạnh \(BC\)

\(\Rightarrow AI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BC.\)


Định lí [edit]

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Để chứng minh định lí trên, ta xét bài toán sau:

Cho \(\Delta ABC\) có ba đường trung trực là \(a,\ b,\ c.\) Giả sử \(b,\ c\) giao nhau tại \(O.\) Chứng minh \(O\) thuộc đường thẳng \(a\) và cách đều ba đỉnh của \(\Delta ABC.\)


Chứng minh

Trước tiên, ta đi chứng minh \(O \in a.\)

Theo đề bài, \(O\) là giao điểm của \(b\)\(c\) nên \(O\) thuộc cả \(b\)\(c.\)

Khi đó:

+) \(O \in b \Rightarrow OA=OC.\)

+) \(O \in c \Rightarrow OA=OB.\)

Suy ra \(OB=OC\) \((\)vì cùng bằng \(OA).\)

Do đó, điểm \(O\) nằm trên đường trung trực \(BC\) (theo tính chất đường trung trực)

\(OA=OB=OC\) nên điểm \(O\) cách đều ba đỉnh \(A,\ B,\ C\) của tam giác \(ABC.\)

Vậy, điểm \(O\) cũng thuộc đường trung trực ứng với cạnh \(BC\)\(O\) cách đều ba đỉnh của tam giác. \(\square\)


Nhận xét: Trong tam giác vuông, ba đường trung trực cắt nhau tại trung điểm của cạnh huyền.

Ví dụ 3: Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

Ta có:

      \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có ba đường trung trực \(a,\ b,\ c\)

\(\Rightarrow a,\ b,\ c\) giao nhau tại trung điểm \(O\) của cạnh \(BC.\)


Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ta đã biết, qua ba điểm không thẳng hàng, ta luôn xác định được duy nhất một đường tròn. 

Lại có giao điểm \(O\) của ba đường trung trực của tam giác \(ABC\) cách đều ba đỉnh nên có một đường tròn tâm \(O\) đi qua ba đỉnh của tam giác. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ví dụ 4: Ba đường trung trực của \(\Delta ABC\) giao nhau tại \(O.\) 


Khi đó:

+) Đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OA\) được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

+) Tam giác \(ABC\) được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn tâm \(O.\)