Lý thuyết: Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình một ẩn [edit]

Ví dụ 1:

Bạn Nga có \(100\ 000\) đồng để mua bánh và kẹo. Biết rằng Nga muốn mua một hộp bánh giá \(35\ 000\) đồng và một vài gói kẹo loại \(15\ 000\) đồng. Tính số gói kẹo bạn Nga có thể mua được.

 Lời giải:

Trong bài toán trên, nếu kí hiệu số gói kẹo bạn An có thể mua là \(x, \) thì \(x\) phải thỏa mãn hệ thức \(15\ 000x+35\ 000 \leq 100\ 000.\)

Khi đó, ta nói hệ thức \(15\ 000x+35\ 000 \leq 100\ 000\) là một bất phương trình với ẩn là \(x.\)

Trong bất phương trình này, ta gọi \(15\ 000x+35\ 000\) là vế trái và \(100\ 000\) là vế phải.

+) Thay giá trị \(x= 4\) vào bất phương trình \(15\ 000x+35\ 000 \leq 100\ 000,\) ta được:

\(\begin{align}15\ 000.4+35\ 000&\leq100\ 000 \\ \Rightarrow 95\ 000\  & \leq 100\ 000 \end{align}\)

\(95\ 000 \leq 100\ 000\)  là khẳng định đúng.

Ta nói số \(4\ (\)hay giá trị \(4)\) là một nghiệm của bất phương trình.

+) Thay giá trị \(x=5\) vào bất phương trình \(15\ 000x+35\ 000 \leq 100\ 000,\) ta được:

\(\begin{align}15\ 000.5+35\ 000&\leq100\ 000 \\ \Rightarrow 110\ 000\  & \leq 100\ 000 \end{align}\)

\(110\ 000 \leq 100\ 000\)  là khẳng định sai.
Ta nói số \(5\) không phải là nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 2:

Cho bất phương trình \(3x+7 \geq 2x^2-3\)

a) Xác định vế trái, vế phải của bất phương trình trên.

b) Chứng minh các số \(1; 3\) đều là nghiệm, còn số \( (-2)\) không phải là nghiệm của bất phương trình.

Lời giải:

a) Bất phương trình \(3x+7 \geq 2x^2-3\) có vế trái là \(3x+7; \) vế phải là \(2x^2-3. \)

b) Ta sẽ xét thay ba giá trị: \(x=1,\ x=3\)\(x=-2\) vào bất phương trình \(3x+7 \geq 2x^2-3.\)

+) Với \(x=1:\)

Thay giá trị \(x=1\) vào bất phương trình \(3x+7 \geq 2x^2-3, \) ta được:

\(3.1+7 \geq 2.1^2-3\)

\(\Rightarrow 10 \geq -1\)

\(10 \geq -1\) là khẳng định đúng nên giá trị \(x=1\) là một nghiệm của bất phương trình.

+) Với \(x=3:\)

Thay giá trị \(x=3\) vào bất phương trình \(3x+7 \geq 2x^2-3, \) ta được:

\(3.3+7 \geq 2.3^2-3\)

\(\Rightarrow 16 \geq 15\)

\(16 \geq 15\) là khẳng định đúng nên giá trị \(x=3\) là một nghiệm của bất phương trình.

+) Với \(x=-2:\)

Thay giá trị \(x=-2\) vào bất phương trình \(3x+7 \geq 2x^2-3, \) ta được:

\(3.(-2)+7 \geq 2.(-2)^2-3\)

\(\Rightarrow 1 \geq 5\)

\(1 \geq 5\) là khẳng định sai nên giá trị \(x=-2\) không phải là nghiệm của bất phương trình.

Vậy các số \(1; 3\) đều là nghiệm, còn số \( (-2)\) không phải là nghiệm của bất phương trình.

Tập nghiệm của bất phương trình [edit]

Định nghĩa:

Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình.

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 3:

Tập nghiệm của bất phương trình \(x \geq -6\) là tập hợp các số lớn hơn hoặc bằng \(-6, \) tức là tập hợp \(\{x|x \geq -6\}.\)

Hình 1 biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(x \geq -6\) trên trục số.


(Trong hình vẽ trên, tất cả các điểm bên trái điểm \(-6\) bị gạch bỏ nhưng điểm \(-6\) được giữ lại)

Ví dụ 4:

Bất phương trình \(x<-2\) có tập nghiệm là tập hợp các số nhỏ hơn \(-2, \) tức là tập hợp \(\{x|x <-2\}. \)

Hình 2 biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(x<-2\) trên trục số.


(Trong hình vẽ trên, tất cả các điểm bên phải điểm \(-2\) bị gạch bỏ và cả điểm \(-2\) bị gạch bỏ).


Bất phương trình tương đương [edit]

Ví dụ 5:

Xét hai bất phương trình: \(x>-2\)\(-2<x\)

Tập nghiệm của bất phương trình \(x >-2\)\(\{x|x>-2\}\ (1) \)

Tập nghiệm của bất phương trình \(-2<x\)\(\{x|x>-2\}\ (2) \)

Từ \((1) \)\( (2), \) suy ra hai bất phương trình: \(x>-2\)\(-2<x\) có cùng tập nghiệm là \(\{x|x>-2\}.\)

Chúng được gọi là hai bất phương trình tương đương.

Định nghĩa:

Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương.

Ta dùng kí hiệu \(“\Leftrightarrow”\) để chỉ sự tương đương đó.

Ví dụ 6:

\(6>x “\Leftrightarrow” x<6.\)