Lý thuyết: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn [edit]

Định nghĩa:

Bất phương trình dạng \(ax+b<0\ (\)hoặc \(ax+b>0, ax+b \leq 0, ax+b \geq 0)\) trong đó \(a\)\(b\) là hai số đã cho, \(a \neq 0,\) được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 1:

\(5-4x \geq 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn \((\)ẩn \(x)\) với \(a=-4\)\(b=5.\)

\(7y-3 <0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn \((\)ẩn \(y)\) với \(a=7\)\(b=-3.\)

\(6-0.x>0\) không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì hệ số của ẩn là \(a=0.\)

\(-3x^2<0\) không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì ẩn \(x\) có lũy thừa \(2.\)

Hai quy tắc biến đổi bất phương trình [edit]

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình \(x+3>-12.\)

Lời giải:

Ta có: 

\(x+3>-12\)

\(\Leftrightarrow x>-12-3\)               \((\)Chuyển vế \(+3\) và đổi dấu thành \(-3)\)

\(\Leftrightarrow x>-15.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\{x|x>-15\}\)

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(5x\leq 4x-2\) và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Lời giải:

Ta có: 

\(5x\leq 4x-2\)

\(\Leftrightarrow 5x-4x \leq -2\)             \((\)Chuyển vế \(4x\) và đổi dấu thành \(-4x)\)

\(\Leftrightarrow x \leq -2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\{x|x \leq -2\}\)

Tập nghiệm này được biểu diễn như sau:


b) Quy tắc nhân với một số

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác \(0,\) ta phải:

- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình \(0,2x > 4.\)

Lời giải:

Ta có:

\(0,2x>4\)

\(\Leftrightarrow 0,2x.5>4.5\)               \((\)Nhân cả hai vế với \(5)\)

\(\Leftrightarrow x>20.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\{x|x>20\}\)

Ví dụ 5: Giải bất phương trình \(\dfrac{-1}{5}x < -4\) và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Lời giải:

Ta có:

\(\dfrac{-1}{5}x < -4\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{-1}{5}x.(-5) > (-4).(-5)\)               \((\)Nhân cả hai vế với \(-5\) và đổi chiều\()\)

\(\Leftrightarrow x >20.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\{x|x>20\}\)

Tập nghiệm này được biểu diễn như sau:


Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn [edit]

Ví dụ 6: Giải bất phương trình \(4x-5 >0\) và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

 Lời giải:

Ta có:

\(4x-5 >0\)

\(\Leftrightarrow 4x>5\)                         \((\)Chuyển \(-5\) sang vế phải và đổi dấu\()\)

\(\Leftrightarrow 4x:4>5:4\)               \((\)Chia cả hai vế cho \(4\) và giữ nguyên chiều\()\)

\(\Leftrightarrow x >1,25.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\{x|x>1,25\}\) và được biểu diễn trên trục số như sau:


Chú ý:

Để cho gọn khi trình bày, ta có thể:

- Không ghi câu giải thích;

- Khi có kết quả \(x>1,25\) thì coi là giải xong và viết đơn giản:

Nghiệm của bất phương trình là \(\{x|x>1,25\}.\)

Ví dụ 7: Giải bất phương trình \(-6x+12<0\)

Lời giải:

Ta có:

\(-6x+12<0\)

\(\Leftrightarrow -6x<-12\)               \((\)Chuyển vế \(12\) và đổi dấu thành\(-12)\)  

\(\Leftrightarrow -6x:(-6)>-12:(-6)\)               \((\)Chia cả hai vế cho \(-6\) và đổi chiều\()\)

\(\Leftrightarrow x >2.\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(\{x|x>2\}.\)


Giải bất phương trình đưa được về dạng \(ax+b <0\); \(ax+b >0\); \(ax+b \leq 0\); \(ax+b \geq 0\)   [edit]

Ví dụ 8: Giải bất phương trình \(5x-4 \geq 8x+5.\)

Lời giải:

Ta có:

\(5x-4 \geq 8x+5.\)

\(\Leftrightarrow 5x-8x \geq 5+4\)               

\(\Leftrightarrow (-3)x \geq 9\)             

\(\Leftrightarrow x \leq 9:(-3)\)

\(\Leftrightarrow x \leq -3.\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(\{x|x\leq -3\}.\)