Lý thuyết: Phân thức đại số và tính chất

Phân thức đại số và tính chất


Định nghĩa [edit]

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\dfrac{A}{B}\), trong đó \(A, B\) là những đa thức và \(B\) khác đa thức \(0\).

\(A\) được gọi là tử thức (hay tử), \(B\) được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Mỗi đa thức cũng được xem như là một phân thức với mẫu thức bằng \(1\)

Ví dụ 1:

a) \(\dfrac{2}{x-5}\)

b) \(\dfrac{x^2+7x}{2x-5}\)

c) \(\dfrac{x-5}{1}\)


Hai phân thức bằng nhau [edit]

Hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\)\(\dfrac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(A.D=B.C\). Ta viết:

\(\boxed{\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D} \ \ \text{nếu} A.D=B.C}\)

Ví dụ 2: 

\(\dfrac{2}{x-5}=\dfrac{6}{3x-15}\)\(2.(3x-15)=5.(x-5)\).

\(\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{x+2}{1}\)\(1.(x^2-4)=(x-2).(x+2)\).


Tính chất cơ bản của phân thức [edit]

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức \(0\) thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{A.M}{B.M}\)  (\(M\) là một đa thức khác đa thức \(0\))

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{A:N}{B:N}\)  (\(N\) là một nhân tử chung)

Ví dụ 3:

a) \(\dfrac{1}{x+8}=\dfrac{1.(x^2+1)}{(x+8)(x^2+1)}\)  (nhân cả tử và mẫu với \(x^2+1\)).

b) \(\dfrac{-A}{-B}=\dfrac{A:(-1)}{B:(-1)}=\dfrac{A}{B}\)  (chia cả tử và mẫu cho \((-1)\)).


Quy tắc đổi dấu [edit]

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{-A}{-B}\)

Ví dụ 4:

\(\dfrac{1}{x+8}=\dfrac{-1}{-x-8}\)

Ví dụ 5:

Điền đa thức \(A\) còn thiếu vào đẳng thức sau: 

\(\dfrac{x^2-3x}{2x-1}=\dfrac{A}{1-2x}\)

Giải:

Ta viết lại:

\(\dfrac{x^2-3x}{2x-1}=\dfrac{A}{-(2x-1)}\)

Mẫu của hai phân thức là hai đa thức khác dấu, suy ra:

\(A=-(x^2-3x)=-x^2+3x\)