Lý thuyết: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Khái niệm [edit]

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

Ta thường kí hiệu "mẫu thức chung" là MTC.

Ví dụ 1:

Cho hai phân thức \(\dfrac{1}{x}\) và \(\dfrac{1}{y}\).

Nhân lần lượt hai phân thức trên với \(y\)\(x\) ta có:

\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1.y}{x.y}=\dfrac{y}{xy}\)

\(\dfrac{1}{y}=\dfrac{1.x}{y.x}=\dfrac{x}{xy}\)

Ta thấy sau khi tính toán, hai phân thức trên có cùng mẫu thức là \(xy\).

Như vậy chúng ta đã quy đồng mẫu thức của hai phân thức \(\dfrac{1}{x}\) và \(\dfrac{1}{y}\).


Tìm mẫu thức chung [edit]

Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, muốn tìm mẫu thức chung ta có thể làm như sau:

1) Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử;

2) Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng);

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Ví dụ 2:

Tìm mẫu thức chung của hai phân thức \(\dfrac{3}{2x-2}\) và \(\dfrac{1}{x^2-1}\).

Giải:

Chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.

\(2x-2=2(x-1)\)

\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)

Bước 2: Chọn mẫu thức chung

Các nhân tử chung với số mũ cao nhất: \(2, x-1, x+1\)

MTC: \(2(x-1)(x+1)\).

Ví dụ 3: 

Tìm mẫu thức chung của hai phân thức \(\dfrac{1}{x^2-3x+2}\) và \(\dfrac{x}{x^2-4x+4}\).

Giải:

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:

\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\)

\(x^2-4x+4=(x-2)^2\)

MTC: \((x-1)(x-2)^2\)


Quy đồng mẫu thức [edit]

Ví dụ 4:

Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\dfrac{1}{x^2-3x+2}\) và \(\dfrac{x}{x^2-4x+4}\).

Giải:

Ví dụ 3 ta đã tìm được MTC \((x-1)(x-2)^2\)

Vì \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) nên ta phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với \(x-2\):

\(\dfrac{1}{x^2-3x+2}=\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1.(x-2)}{(x-1)(x-2).(x-2)}=\dfrac{x-2}{(x-1)(x-2)^2}\)

Vì \(x^2-4x+4=(x-2)^2\) nên ta phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với \(x-1\):

\(\dfrac{x}{x^2-4x+4}=\dfrac{x}{(x-2)^2}=\dfrac{x.(x-1)}{(x-1).(x-2)^2}=\dfrac{x(x-1)}{(x-1)(x-2)^2}\)

Ta nói \(x-2\)nhân tử phụ của mẫu thức \(\dfrac{1}{x^2-3x+2}\) và \(x-1\) là nhân tử phụ của mẫu thức \(\dfrac{x}{x^2-4x+4}\).

Nhận xét:

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.