Lý thuyết: Phép trừ các phân thức đại số

Phép trừ các phân thức đại số

Phân thức đối [edit]

Định nghĩa:

Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng \(0\).

Ví dụ 1: 

Hai phân thức \(\dfrac{x}{x-1}\) và \(\dfrac{-x}{x-1}\) là đối nhau vì:

\(\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{-x}{x-1}=\dfrac{x-x}{x-1}=0\)

Tổng quát: 

Phân thức \(\dfrac{-A}{B}\) là phân thức đối của \(\dfrac{A}{B}\) và ngược lại \(\dfrac{A}{B}\) là phân thức đối của \(\dfrac{-A}{B}\).

Phân thức đối của phân thức \(\dfrac{A}{B}\) được kí hiệu là \(-\dfrac{A}{B}\).

\(\boxed{-\dfrac{A}{B}=\dfrac{-A}{B} \ \  \text{và} \ \ -\dfrac{-A}{B}=\dfrac{A}{B}}\)

Ví dụ 2:

Phân thức đối của phân thức \(\dfrac{2-x}{2x}\) là phân thức \(-\dfrac{2-x}{2x}=\dfrac{-(2-x)}{2x}=\dfrac{x-2}{2x}\).


Phép trừ [edit]

Quy tắc:

Muốn trừ phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\), ta cộng phân thức \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức đối của phân thức \(\dfrac{C}{D}\):

\(\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left(-\dfrac{C}{D}\right)\) 

Kết quả của phép trừ \(\dfrac{A}{B}\) cho \(\dfrac{C}{D}\) được gọi là hiệu của \(\dfrac{A}{B}\)\(\dfrac{C}{D}\).

Ví dụ 3:

Thực hiện phép trừ \(\dfrac{1}{2x+4}-\dfrac{1}{x-3}\).

Giải:

Ta có: \(\dfrac{1}{2x+4}-\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{1}{2x+4}+\dfrac{-1}{x-3}\)

MTC: \(2(x+2)(x-3)\)

\(\begin{align} \dfrac{1}{2x+4}+\dfrac{-1}{x-3}&=\dfrac{1}{2(x+2)}+\dfrac{-1}{x-3} \\ &=\dfrac{x-3}{2(x+2)}+\dfrac{-2(x+2)}{x-3} \\ &=\dfrac{(x-3)-2(x+2)}{2(x+2)(x-3)} \\ &=\dfrac{-x-7}{2(x+2)(x-3)} \end{align}\)

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

Ví dụ 4:

Thực hiện phép trừ \(\dfrac{2x}{x^2+4x+4}-\dfrac{-x-1}{x+2}-\dfrac{x-2}{x^2+4x+4}\).

Giải:

Ta viết lại \(\dfrac{2x}{x^2+4x+4}-\dfrac{-x-1}{x+2}-\dfrac{x-2}{x^2+4x+4}=\dfrac{2x}{x^2+4x+4}-\dfrac{x-2}{x^2+4x+4}-\dfrac{-x-1}{x+2}\)

Khi đó:

\(\begin{align}\dfrac{2x}{x^2+4x+4}-\dfrac{x-2}{x^2+4x+4}-\dfrac{-x-1}{x+2}&=\dfrac{2x}{x^2+4x+4}+\left(-\dfrac{x-2}{x^2+4x+4}\right)+\left(-\dfrac{-x-1}{x+2}\right) \\ &=\dfrac{2x}{x^2+4x+4}+\dfrac{2-x}{x^2+4x+4}+\dfrac{x+1}{x+2} \\ &=\dfrac{2x+(2-x)}{x^2+4x+4}+\dfrac{x+1}{x+2} \\ &=\dfrac{x+2}{x^2+4x+4}+\dfrac{x+1}{x+2} \\ &=\dfrac{x+2}{(x+2)^2}+\dfrac{x+1}{x+2} \\ &=\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{x+1}{x+2} \\ &=\dfrac{1+x+1}{x+2} \\ &=1 \end{align}\)