Lý thuyết: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Biểu thức hữu tỉ [edit]

Xét một số biểu thức sau:

\(5;\ \ \ 2x-2;\  \ \ \sqrt{x}+4;\  \ \ \dfrac{-2}{7};\  \ \ x^2+3x+9;\ \ \ \dfrac{2x-1}{\sqrt{7}+x};\ \ \ x+1-\dfrac{x^3-5x}{x^2+1}\)

Mỗi biểu thức ở trên là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức.

Ta gọi những biểu thức như thế là những biểu thức hữu tỉ.


Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức [edit]

Ta có thể sử dụng các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

Ví dụ 1: 

Biến đổi biểu thức \(A=\dfrac{1+\dfrac{2}{x-1}}{1+\dfrac{2x}{x^2+1}}\) thành một phân thức.

Giải:

\(\begin{align} A&=\left(1+\dfrac{2}{x-1}\right):\left(1+\dfrac{2x}{x^2+1}\right)=\dfrac{x-1+2}{x-1}:\dfrac{x^2+1+2x}{x^2+1} \\ &=\dfrac{x+1}{x-1}:\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}=\dfrac{x+1}{x-1}.\dfrac{x^2+1}{(x+1)^2} \\ &=\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x^2+1}{x^2-1} \square \end{align} \)


Giá trị của phân thức [edit]

Khi làm tính trên các phân thức, ta chỉ việc thực hiện theo các quy tắc của phép toán, không cần quan tâm đến giá trị của biến. Nhưng khi làm những bài toán liên quan đến giá trị của phân thức thì trước hết phải tìm điều kiện của biến để giá trị tương tứng của mẫu thức khác \(0\). Đó chính là điều kiện để giá trị của một phân thức được xác định. Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức ấy và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.

Ví dụ 2: 

Cho phân thức \(\dfrac{x-1}{x^2-x}\).

a) Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị của phân thức được xác định.

b) Tính giá trị của phân thức tại \(x=2\).

Giải:

a) Giá trị của phân thức được xác định khi \(x^2-x\neq 0\). Khi đó:

\(x(x-1) \neq 0\).

Từ đó ta có \(x \neq 0\)\(x \neq 1\).

b) Vì \(x=2\) thỏa mãn điều kiện của biến nên ta có thể tính giá trị của biểu thức đã cho. 

Ta có \(\dfrac{x-1}{x^2-x}=\dfrac{x-1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x}\).

Khi \(x=2\) thì giá trị của phân thức bằng \(\dfrac{1}{2}\). \(\square\)