Lý thuyết: Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông

1.3. Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông

Bài toán máy bay hạ cánh: [edit]


Một máy bay đang bay ở độ cao \(15km.\) Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, nếu phi công muốn tạo góc nghiêng \(3^o\) so với mặt đất thì cách sân bay bao nhiêu kilômét phi công phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh?

Từ bài toán trên, ta chuyển về bài toán tìm cạnh huyền của một tam giác vuông khi biết cạnh góc vuông và một góc nhọn:


Do đó, ta phải biết mối quan hệ giữa cạnh và góc của tam giác vuông.

Các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông [edit]

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

  • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.
  • Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Cụ thể:

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\) Khi đó:

\(b=a.\sin\text{B}=a.\cos\text{C};\)

\(c=a.\sin\text{C}=a.\cos\text{B};\)

\(b=c.\tan\text{B}=c.\cot\text{C};\)

\(c=b.\tan\text{C}=b.\cot\text{B}.\)

Bài toán "Giải tam giác vuông"

Giải tam giác vuông là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn.

Công thức tính diện tích của một tam giác bất kì [edit]

Nếu một tam giác có hai cạnh bằng \(a\)\(b,\) góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng đó bằng \(\alpha\) thì diện tích của tam giác đó bằng:

\(\boxed{S=\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha}\)

Thật vậy,

                                  

Giả sử \(\Delta ABC\) có cạnh \(AB=a,\ AC=b\)\(\alpha\) là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng \(AB,\ AC\) . Kẻ đường cao \(BH\).

 \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\)

\(\Rightarrow BH =AB.sin\text{A}=AB.sin\alpha.\)

Khi đó: \(S=\dfrac{1}{2}BH.AC=\dfrac{1}{2}.AB.\sin\alpha.AC==\dfrac{1}{2}.ab.\sin\alpha.\)

Do đó, diện tích tam giác bằng một nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc tạo bởi hai cạnh ấy.

Có thể em chưa biết:

Định lí này còn được trình bày dưới dạng bài toán sau:

Chứng minh rằng diện tích của một tam giác (không vuông) bằng một nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.

Qui ước:

Trong các kết quả, nếu không nói gì thêm thì ta làm tròn đến độ (với số đo góc) và đến chữ số thập phân thứ ba (với số đo độ dài).