Lý thuyết: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Định lí 1 [edit]

Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Cho đường tròn \((O) \) có hai dây \(AB\)\(CD\) khác đường kính. Kẻ \(OH \bot AB;\ OK \bot CD.\) Chứng minh: 

a) Nếu \(AB=CD\) thì \(OH=OK.\)

b) Nếu \(OH=OK\) thì \(AB=CD.\)

Chứng minh:


Ta có \(\left\{\begin{array}{ll} OH \bot AB\\ OK \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}AB=2HB\\ CD=2KD \end{array} \right.\) (Đường kính vuông góc với dây cung)           \((1)\)

Áp dụng định lí Py - ta - go cho hai tam giác vuông \(OHB\)\(OKD,\) ta có:

\(\left\{\begin{array}{ll}OH^2+HB^2= OB^2=R^2\\OK^2+KD^2=OD^2=R^2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}OH^2=R^2-HB^2\\ OK^2=R^2-KD^2\end{array} \right.\)                             \((2)\)

a) Nếu \(AB=CD\) thì \(OH=OK.\)

Theo giả thiết: \(AB=CD.\)

Từ \((1)\) \(\Rightarrow HB=KD \Rightarrow HB^2=KD^2.\)

Từ \((2)\) \(\Rightarrow OH^2=OK^2\Rightarrow OH=OK.\)

Vậy trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b) Nếu \(OH=OK\) thì \(AB=CD.\)

Theo giả thiết:  \(OH=OK.\)

\(\Rightarrow OH^2=OK^2.\)

Từ \((2)\) \(\Rightarrow HB^2=KD^2.\)

\(\Rightarrow HB=KD.\)

Từ \((1)\) \(\Rightarrow AB=CD.\)

Vậy trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. \(\square\)

Ví dụ 1:

Cho đường tròn \((O);\) đường kính \(AB,\) hai dây \(AC\)\(BD\) song song với nhau. Gọi \(d_1;\ d_2\) lần lượt là  khoảng cách từ \(O\) đến \(AC,\ BD.\) So sánh \(d_1\)\(d_2.\)

Phân tích:

Với bài toán này, ta không có số liệu cụ thể để tính toán khoảng cách để so sánh.

Do vậy ta phải sử dụng mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.

Tìm mối quan hệ giữa hai dây \(AC\)\(BD\)


Giải:

Ta có: \(C \in \left ( O;\ \dfrac{AB}{2} \right ) \Rightarrow OA=OB=OC=\dfrac{AB}{2}.\)

\(\Rightarrow \Delta ACB\) vuông tại \(C.\)

\(\Rightarrow AC \bot BC.\)

Ta lại có: \(D \in \left ( O;\ \dfrac{AB}{2} \right ) \Rightarrow OA=OB=OD=\dfrac{AB}{2}.\)

\(\Rightarrow \Delta ADB\) vuông tại \(D.\)

\(\Rightarrow BD \bot AD.\)

\(AC // BD \Rightarrow AD // BC.\)

Khi đó, tứ giác \(ACBD\) là hình bình hành.

\(\Rightarrow AC=BD\) (Tính chất hình bình hành)

\(\Rightarrow d_1 = d_2.\) (Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm) \(\square\)

Ví dụ 2:

Cho hình vẽ:


Trong hai đoạn thẳng GH và MN, đoạn nào dài hơn?

Giải

Vì hai điểm \(I,\ J\) cùng thuộc đường tròn nhỏ nên \(OI = OJ.\)

Mà trong đường tròn lớn có \(OI,\ OJ\) là khoảng cách từ tâm tới hai dây \(GH;\ MN\)

\(\Rightarrow GH=MN.\) (Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau) \(\square\)

Định lí 2 [edit]

Trong hai dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Cho \((O), \) hai dây \(AB,\ CD\) khác đường kính. Kẻ \(OH \bot AB;\ OK \bot CD.\) Khi đó:

a) Nếu \(AB<CD\) thì \(OH>OK.\)

b) Nếu \(OH<OK\) thì \(AB>CD.\)

Chứng minh:


a) Nếu \(AB>CD\) thì \(OH<OK.\)

Theo giả thiết: \(AB>CD.\) 

Từ \((1)\) \(\Rightarrow HB> KD\Rightarrow HB^2>KD^2\)

Từ \((2)\) \(\Rightarrow OH^2<OK^2\Rightarrow OH<OK.\)

Vậy trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Nếu \(OH<OK\) thì \(AB>CD.\)

Theo giả thiết: \(OH<OK\Rightarrow OH^2<OK^2.\)

Từ \((2)\) \(\Rightarrow HB^2>KD^2.\)

Từ \((1)\) \(\Rightarrow AB^2>CD^2\Rightarrow AB>CD.\)

Vậy trong hai dây của một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. \(\square\)

Ví dụ 3:

Cho \((O),\) hai dây \(AB,\ CD\) không đi qua tâm. Biết khoảng cách từ tâm đến dây \(AB, CD\) lần lượt là \(4cm,\ 3cm.\) So sánh độ dài hai dây \(AB\)\(CD.\)


Giải

Từ \(O\) kẻ \(OI \bot AB\ ( I \in AB);\ OK \bot CD\ (K \in CD).\)

\(\Rightarrow OK=3cm;\ OI=4cm.\)

\(OK<OI\ (3cm<4cm)\)

\(\Rightarrow CD>AB.\) (Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn) \(\square\)

Ví dụ 4:

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\) Gọi \(M,\ N,\ P\) lần lượt là hình chiếu của tâm \(O\) lên \(AC,\ AB,\ BC.\) So sánh ba đoạn thẳng \(OM,\ ON,\ OP\) nếu \(AB = 5cm;\ AC = 7cm\)\(BC = 11cm.\)

Giải

Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\)

\(\Rightarrow AB,\ AC,\ BC\) là ba dây cung của đường tròn.

Ta có: \(BC>AC\ (11cm>7cm)\)

\(\Rightarrow OP<OM.\) (Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn)        \((1)\)

Lại có: \(AC>AB\ (7cm>5cm)\)

\(\Rightarrow OM<ON.\) (Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn)        \((2)\)

Từ \((1)\)\((2)\) \(\Rightarrow OP<OM<ON.\) \(\square\)