Lý thuyết: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn [edit]

a. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(a\) là độ dài đường vuông góc \(OH\) kẻ từ \(O\) đến \(a. \)


b. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Xét đường tròn \((O;\ R) \) và đường thẳng \(a\) trên mặt phẳng. Kẻ \(OH \bot a\) tại \(H. \)

Đặt \(OH=d. \) Khi đó, \(d\) là khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(a. \)

  • \(a\) cắt \((O)\)
\(\Leftrightarrow  a\)\((O) \) có 2 điểm chung.  
\(\Leftrightarrow a\) là cát tuyến của \((O). \)


Hệ thức: \(d<R\)

  • \(a\) tiếp xúc với \((O)\)
\(\Leftrightarrow  a\)\((O)\) chỉ có 1 điểm chung.

\(\Leftrightarrow a\) là tiếp tuyến của \((O). \)


Hệ thức: \(d=R\)

Khi đó, điểm \(C\) gọi là tiếp điểm.

  • \(a\) không giao nhau với \((O)\)
\(\Leftrightarrow a\)\((O)\) không có điểm chung.


Hệ thức: \(d>R\)

Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Số điểm chung

Hệ thức giữa \(d\)\(R\)

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

\(2\)

 \(d<R\)

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

\(1\)

                  \(d=R\)

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

\(0\)

                 \(d>R\)

Tiếp tuyến của đường tròn. [edit]

Định nghĩa:

Một đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.

Định lí:

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

 

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.

a) Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.


Dấu hiệu nhận biết b) còn được phát biểu thành định lí sau:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Một số dạng toán [edit]

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Phương pháp giải:

So sánh khoảng cách \(d\) với bán kính \(R:\)

  • Nếu \(d<R\) thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau.
  • Nếu \(d>R\) thì đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

Ví dụ 1:

Biết \(R\) là bán kính của đường tròn, \(d\) là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.

Điền vào các chỗ trống (…) trong bảng sau:

       \( R \)

\( d \)

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

\(9cm\)

\(…\)

                           Tiếp xúc nhau

\(6cm\)

\(3cm\)

                          \(…\)

\(5cm\)

\(7cm\)

                          \(…\)

Giải

  • Vì đường thẳng \(d\) và đường tròn \( (O) \) tiếp xúc nhau nên \(d=R=9cm. \)
  • \(d<R\ (3cm <6cm) \) nên đường thẳng \(d\) cắt đường tròn \( (O). \)
  • \(d>R\ (7cm>5cm) \) nên đường thẳng \(d\) và đường tròn \( (O) \) không giao nhau.

Khi đó, ta có bảng sau:

\( R \)

\( d \)

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

\(9cm\)

\(9cm\)

                           Tiếp xúc nhau

\(6cm\)

\(3cm\)

                           Cắt nhau

\(5cm\)

\(7cm\)

                           Không giao nhau


Dạng 2: Tính độ dài của một đoạn tiếp tuyến

Phương pháp giải:

Vận dụng tính chất của tiếp tuyến: Nếu đường thẳng \(a\) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \(A\) thì \(a \bot OA\) tại \(A. \)

Ví dụ 2:

Từ điểm \(A\) cách \(O\) một khoảng \(d\ (d >R) \) vẽ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn \( (O;\ R)\) (\(B\) là tiếp điểm ). Tính độ dài đoạn \(AB. \)


Giải

\(AB\) là tiếp tuyến của \( (O) \) tại \(B\) nên \(AB \bot OB\) tại \(B. \)

Áp dụng định lí Py ta go vào \(\Delta AOB\) có:

\(AB=\sqrt{OA^2-R^2}=\sqrt{d^2-R^2}.\)

Vậy \(AB=\sqrt{d^2-R^2}.\) \(\square\)


Dạng 3: Tìm vị trí của tâm một đường tròn có bán kính cho trước và tiếp xúc với một đường thẳng cho trước.

Phương pháp giải:

  • Tìm khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng đó.
  • Áp dụng tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước:

Các điểm cách đường thẳng \(b\) một khoảng bằng \(h\) nằm trên hai đường thẳng song song với \(b\) và cách \(b\) một khoảng bằng \(h. \)


Ví dụ 3:

Cho trước đường thẳng \(a. \) Tâm \(O\) của tất cả các đường tròn có đường kính \(2cm\) và tiếp xúc với đường thẳng \(a\) nằm trên đường nào?

Giải

Đường kính của \( (O) \) bằng \(2cm\) nên bán kính của \( (O) \) bằng \(1cm. \)

Mà đường tròn \( (O) \) tiếp xúc với đường thẳng \(a\) nên \(d=R=1cm. \)

Vậy \(O\) nằm trên hai đường thẳng \(b\)\(b’\) song song với \(a\) và cách \(a\) một khoảng \(1cm.\) \(\square\)


Một số kiến thức liên quan

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng này tới đường thẳng kia.


Ta có: \(a//b;\ A\) bất kì nằm trên \(a. \)

\(AH \bot b;\ H \in b.\)

Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(a\)\(b\) là độ dài đoạn \(AH. \)

Đường thẳng song song cách đều

Định lí 1: 

Những đường thẳng song song chắn trên một đường thẳng cho trước những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.

Định lí 2:

Những đường thẳng song song cách đều chắn trên một đường thẳng bất kì những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.