Lý thuyết: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau [edit]

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
+) Đường thẳng đi qua điểm đó và qua tâm đường tròn là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai tiếp điểm.


Chứng minh:

Gọi \(BA,\ CA\) theo thứ tự là các tiếp tuyến tại \(B\) và tại \(C\) của đường tròn \( (O). \) Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

\(AB \bot OB\) tại \(B\)\(AC \bot OC\) tại \(C. \)

Xét \(\Delta OAB\)\(\Delta OAC\) có:

\(OB=OC\)

\(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)

\(AO\) là cạnh chung

Do đó, \(\Delta OAB = \Delta OAC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra:

      \(\widehat{A_1} = \widehat{A_2}\) (hai góc tương ứng)

      \(\widehat{O_1} = \widehat{O_2}\) (hai góc tương ứng)

\(AB=AC \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của đoạn \(BC.\)

\(OB=OC \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của đoạn \(BC. \)

\(\Rightarrow OA\) là đường trung trực của  đoạn \(BC. \)

Đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp tam giác [edit]

a) Đường tròn nội tiếp tam giác

Định nghĩa:

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác của các góc trong của tam giác.

Cụ thể:

Cho \(\Delta ABC. \) Gọi \(I\) là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác đó. \(D,\ E,\ F\) theo thứ tự là chân đường các đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến các cạnh \(BC,\ AC\)\(AB. \) Gọi \(r\) là khoảng cách từ \(I\) đến đường thẳng \(AB. \) Đường tròn \((I, r) \) được gọi là đường tròn nội tiếp của \(\Delta ABC\) hay tam giác ngoại tiếp đường tròn.


b) Đường tròn bàng tiếp tam giác

Định nghĩa:

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.


Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc \(A\) của tam giác \(ABC\) là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại \(B\)\(C, \) hoặc là giao điểm của đường phân giác góc \(A\) và đường phân giác góc ngoài tại \(B\) hoặc \(C. \)

Chú ý:

Mỗi tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.

Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tứ giác [edit]

a) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Đường tròn có tâm nằm trong tứ giác và tiếp xúc với 4 cạnh tứ giác đó được gọi là đường tròn nội tiếp tứ giác hoặc tứ giác ngoại tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác ngoại tiếp).


b) Đường tròn nội tiếp tứ giác

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một tứ giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác và tứ giác này gọi là nội tiếp đường tròn.

 

Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác [edit]

a) Đường tròn ngoại tiếp đa giác

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này gọi là nội tiếp đường tròn.


b) Đường tròn nội tiếp đa giác

Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.


c) Định lí:

Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp.

Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp gọi là tâm của đa giác đều.


Các dạng bài tập [edit]

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, các hệ thức hình học

Phương pháp: 

Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

Ví dụ 1: (Click vào đây để xem ví dụ)

Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, diện tích tam giác ngoại tiếp một đường tròn.

Phương pháp:

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

– Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác (có thể là 2 đường phân giác).

– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh của tam giác (có thể là giao điểm hai đường trung trực).

Trường hợp đặc biệt:

Trong tam giác đều:

Tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau.


Trong tam giác cân:

Tâm của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, trọng tâm, trực tâm nằm trên đường cao hạ từ đỉnh của tam giác cân đó.


Công thức tính diện tích một tam giác bất kì:

Cho tam giác \(ABC. \) Gọi \(p\) là nửa chu vi, \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp và \(S\) là diện tích tam giác. Khi đó \(S=p.r\)

Trường hợp đặc biệt:

Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) có độ dài là \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Ví dụ 2: (Click vào đây để xem ví dụ)

Dạng 3: Tìm tâm của đường tròn

Phương pháp:

Sử dụng một số quỹ tích cơ bản được dùng để tìm tâm đường tròn:

  • Tập hợp điểm \(M\) cách một đường thẳng \(d\) cho trước một khoảng bằng \(h\) cho trước là một trong hai đường thẳng song song với nó.
  • Tập hợp điểm \(M\) cách điểm \(O\) cho trước một khoảng bằng \(d\) cho trước là đường tròn \((O, d).\)
  • Tập hợp điểm \(M\) cách đều hai cạnh của một góc cho trước là đường phân giác của góc đó.
  • Tập hợp điểm \(M\) có hình chiếu cố định trên một đường thẳng \(d\) cho trước là một đường thẳng vuông góc với \(d\) tại điểm đó.
  • Tập hợp điểm \(M\) cách đều hai điểm \(A,\ B\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB. \)

Ví dụ 3: (Click vào đây để xem ví dụ)