Lý thuyết: Vị trí tương đối của hai đường tròn

2.7. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Đường nối tâm [edit]


Xét hai đường tròn có tâm không trùng nhau \((O; R) \)\((O’; r). \)

Đường thẳng \(OO’\) gọi là đường nối tâm, đoạn thẳng \(OO’\) gọi là đoạn nối tâm.

Do đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.

Ba vị trí tương đối của hai đường tròn [edit]

Xét hai đường tròn \((O; R) \)\((O’; r). \)

Giả sử \(R>r. \)

a) Hai đường tròn cắt nhau


Hai đường tròn \((O; R) \)\((O’; r)\) cắt nhau \(\Leftrightarrow (O) \)\((O’) \)\(2\) điểm chung.

Hai điểm chung đó gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây chung.

Trong hình vẽ, đoạn thẳng \(AB\) là dây chung của hai đường tròn cắt nhau\((O; R) \)\((O’; r). \)

Tính chất đường nối tâm:

Hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

Đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

\(OO’\) là trung trực của \(AB. \)

Hệ thức: \(R-r<OO’<R+r\)

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hai đường tròn tiếp xúc nhau \(\Leftrightarrow (O) \)\((O’) \) chỉ có \(1\) điểm chung.

Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.

Tính chất đường nối tâm:

Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

\(A\) là tiếp điểm \(\Rightarrow A \in OO’. \)

Trường hợp 1: Tiếp xúc ngoài


Hệ thức: \(OO’=R+r\)                 

Hai đường tròn \((O) \)\((O’) \) tiếp xúc ngoài tại \(A. \)

\(\Rightarrow A\) là tiếp điểm.

\(\Rightarrow A\) nằm giữa \(O\)\(O’.\) \(\square\)

Trường hợp 2: Tiếp xúc trong


Hệ thức: \(OO’=R-r\)

Hai đường tròn \((O) \)\((O’) \) tiếp xúc trong tại \(A. \)

\(\Rightarrow A\) là tiếp điểm.

\(\Rightarrow O’\) nằm giữa \(O\)\(A.   \) \(\square\)

c) Hai đường tròn không giao nhau

Hai đường tròn không giao nhau \(\Leftrightarrow (O) \)\((O’) \) không có điểm chung.

Trường hợp 1: Hai đường tròn ở ngoài nhau


Hệ thức: \(OO’>R+r\)

Trường hợp 2: Hai đường tròn đựng nhau


Hệ thức: \(OO’<R-r\)
Trường hợp 3: Hai đường tròn đồng tâm


Hệ thức: \(OO’=0\)\(R \neq r\)

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn [edit]

Định nghĩa:

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

Số tiếp tuyến chung:

  • Hai đường tròn cắt nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài.


\(d_1\)\(d_2\) là hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn \( (O) \)\( (O’). \)

  • Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung trong.


\(d_1\)\(d_2\) là hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn \( (O) \)\( (O’). \)

\(m\) là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn \( (O) \)\( (O’). \)

  • Hai đường tròn tiếp xúc trong chỉ có một tiếp tuyến chung.


\(d\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \((O) \)\( (O’). \)

  • Hai đường tròn ở ngoài nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong.


\(d_1\)\(d_2\) là hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn \( (O) \)\( (O’). \)

\(m_1\)\(m_2\) là hai tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn \( (O)\)\( (O’). \)

  • Hai đường tròn chứa nhau và hai đường tròn đồng tâm không có tiếp tuyến chung.

                         

Các dạng bài tập [edit]

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

Phương pháp:

  • Xác định độ dài đoạn nối tâm
  • Xác định hệ thức liên hệ giữa độ lớn các bán kính và độ dài đoạn nối tâm.

Ví dụ 1: (Click vào đây để xem ví dụ)

Dạng 2: Bài toán với hai đường tròn tiếp xúc nhau

Phương pháp:

  • Vẽ đường nối tâm.
  • Sử dụng tính chất tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
  • Sử dụng hệ thức \(d=R+r;\ d=R-r\ (d\) là độ dài đoạn nối tâm\().\)
  • Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.
  • Nếu cần, có thể kẻ tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để sử dụng tính chất đặc trưng và tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

Ví dụ 2: (Click vào đây để xem ví dụ)

Dạng 3: Bài toán với hai đường tròn cắt nhau

Phương pháp:

  • Vẽ dây chung, vẽ đường nối tâm.
  • Dùng tính chất đường nối tâm là trung trực của dây chung.

Ví dụ 3: (Click vào đây để xem ví dụ)

Dạng 4: Chứng minh các quan hệ hình học (song song, vuông góc, thẳng hàng,…)

Phương pháp:

  • Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
  • Vận dụng tính chất tiếp tuyến, tiếp tuyến chung, hai tiếp tuyến cắt nhau và dây chung vuông góc với đường nối tâm.
Ví dụ 4: (Click vào đây để xem ví dụ)