Lý thuyết: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền [edit]

Định lí 1:

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.


Giả thiết:

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có: \(AH \bot BC;\ H\in BC\)

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC;\ AC^2=HC.BC\) 

Hay \(b^2 = a.b’;\ c^2 = a.c’\)

Chứng minh:

Xét \(\Delta AHC\)\(\Delta ABC\) có:

\(\widehat{C}\) chung

\(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^o\)

Vậy \(\Delta AHC \sim \Delta BAC\ (g.g) \)

\(\Rightarrow \dfrac{HC}{AC}=\dfrac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow AC^2=BC.HC\) hay \(b^2=a.b’. \)

Tương tự, ta có: \(c^2=a.c’. \)

Ngoài ra, hai hệ thức trên còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân như sau:

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Một số hệ thức liên quan tới đường cao [edit]

Định lí 2:

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.


Giả thiết:

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có: \(AH \bot BC;\ H\in BC\)

\(\Rightarrow AH^2=BH.HC\) hay \(h^2=b’.c’\)

Chứng minh:

Xét \(\Delta AHB\)\(\Delta CHA\) có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\ (\)Vì cùng phụ với \(\widehat{ABC})\)

Vậy \(\Delta BHA \sim \Delta AHC\ (g.g) \)

\(\Rightarrow \dfrac{BH}{AH}=\dfrac{AH}{HC}\)

\(\Rightarrow AH^2=HC.HB\) hay \(h^2=b’.c’\)

Ngoài ra, hai hệ thức trên còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân như sau:

Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Định lí 3:

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.


Giả thiết:
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có: \(AH \bot BC;\ H\in BC\)
\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\) 
Hay \(h.a=b.c\)

Chứng minh:

Cách 1: Dựa vào tam giác đồng dạng

Xét \(\Delta AHC\)\(\Delta ABC\) có:

\(\widehat{C}\) chung

\(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^o\)

Vậy \(\Delta AHC \sim \Delta BAC\ (g.g) \)

\(\Rightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow AH.BC=AC.AB\) hay \(h.a=b.c\)

Cách 2: Dựa vào công thức tính diện tích tam giác

Gọi \(S_{ABC}\) là diện tích tam giác \(ABC\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)\(AH\) là đường cao

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}AH.BC\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=AC.AB=AH.BC\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=b.c=h.a\)

Định lí 4:

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.


Giả thiết:
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có: \(AH \bot BC;\ H\in BC\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AB^2}\)
Hay \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}.\)

Chứng minh:

Từ định lí 3:

\(h.a=b.c\)

Ta có biến đổi:

\(h^2.a^2=b^2.c^2\)

\(\Rightarrow h^2= \dfrac{b^2.c^2}{a^2}\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{h^2}=\dfrac{a^2}{b^2.c^2}=\dfrac{b^2+c^2}{b^2c^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}.\)

Qui ước:

Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi bài nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo.