Lý thuyết: Đường kính và dây của đường tròn



Đường kính và dây của đường tròn

Cung, dây cung của đường tròn [edit]

Cho đường tròn tâm \(O\). Nếu hai điểm \(A,\ B\) phân biệt nằm trên đường tròn thì chúng chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần là một cung.


  • Hai điểm \(A,\ B\) là hai mút của cung.
  • Đoạn thẳng nối hai mút của cung gọi là dây cung (dây)
  • Dây cung đi qua tâm là đường kính.

Mối quan hệ giữa đường kính và dây cung [edit]

Trong một đường tròn, đường kính dài gấp đôi bán kính.

\(d=2r\)

Định lí 1:

Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 

\(MN \leq 2R\)


Chứng minh:

Trường hợp 1:

Nếu dây \(AB\) là đường kính thì \(AB=2R. \)

Trường hợp 2:

Nếu dây \(AB\) không là đường kính:

Xét \(\Delta OAB, \) ta có:

\(AB<OA+OB=R+R=2R.\)

Vậy ta luôn có \(AB \leq 2R. \) \(\square\) 

Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây [edit]

Định lí 2:

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

 

Chứng minh:

Trường hợp 1: Nếu dây \(CD\) là đường kính

Hiển nhiên \(AB\) đi qua trung điểm \(O\) của \(CD. \)

Trường hợp 2: Nếu \(CD\) không là đường kính

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\)\(CD. \)

\(\Delta OCD\)\(OC=OD=R\)

\(\Rightarrow \Delta OCD\) cân tại \(O. \)

\(\Rightarrow OI\) là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

\(\Rightarrow IC=ID.\)

Do đó, trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. \(\square\) 

Định lí 3:

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.


Chứng minh:

Gọi \(I\) là giao điểm của dây \(CD\)  và đường kính \(AB.\)

\(\Rightarrow \Delta OCD\) cân tại \(O\ (\)\(OC=OD)\)

\(OI\) là trung tuyến nên \(OI\) đồng thời là đường cao.

Do đó, \(OI \bot CD\) tại \(I.\) \(\square\) 

Chú ý:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây ấy.


Giả sử \(AB,\ CD\) là đường kính của đường tròn tâm \(O.\)

Khi đó, \(CD\) cũng là dây cung của đường tròn.

\(O \in CD\)\(OC=OD\ (\)\(CD\) là đường kính \()\)

\(\Rightarrow O\) là trung điểm của \(CD\)

Khi đó, đường kính \(AB\) đi qua trung điểm \(O\) của dây \(CD\) nhưng \(AB\)\(CD\) không vuông góc với nhau. \(\square\)