Lý thuyết: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Chia đa thức một biến đã sắp xếp


Nguyên tắc chung [edit]

Sắp xếp các đa thức khi đặt tính: ta sử dụng cách đặt các đa thức như sau:


Để chia đa thức một biến đã sắp xếp (bậc của đa thức bị chia lớn hơn hoặc bằng đa thức chia), ta có thể dụng nguyên tắc chung như sau:

Bước 1: Chia số hạng đầu tiên của đa thức bị chia cho số hạng đầu tiên của đa thức chia và đặt vào vị trí kết quả.

Bước 2: Nhân kết quả với đa thức chia và đặt và vị trí tương ứng số mũ dưới đa thức bị chia

Bước 3: Trừ đa thức bị chia cho đa thức vừa nhận được, kết quả đặt tương ứng số mũ bên dưới.

Bước 4: Lặp lại quá trình đến khi số mũ cao nhất của đa thức nhận được nhỏ hơn số mũ cao nhất của đa thức chia.

Nếu đa thức nhận được là \(0\) ta nói phép chia hết.

Nếu đa thức nhận được khác \(0\) ta nói phép chia dư.


Phép chia hết [edit]

Để chia đa thức \(x^2-3x+2\) cho đa thức \(x-1\) ta làm như sau:

Đặt tính chia:


Bước 1: Lấy \(x^2\) chia cho \(x\) ta có:  \(x^2:x=x\). Ta viết \(x\) vào ô kết quả.



Bước 2: Lấy \(x\) nhân với \(x-1\) và đặt kết quả dưới số bị chia:


Bước 3: Trừ số bị chia cho \(x^2-x\) ta có


Bước 4: lặp lại quá trình chia với số bị chia mới là \(-2x+2\).


Ta thấy đa thức còn lại là \(0\) nên phép chia hết, ta được thương là \(x-2\). Khi đó ta có:

\((x^2-3x+2):(x-1)=x-2\).


Phép chia có dư [edit]

Để chia đa thức \(2x^3-x^2+5x-3\) cho đa thức \(x^2+2\) ta làm như sau:

Đặt tính chia:


Bước 1: Lấy \(2x^3\) chia cho \(x^2\) ta được:  \(2x^3:x^2=2x\). Ta viết \(2x\) vào ô kết quả.



Bước 2: Lấy \(2x\) nhân với \(x^2+2\) và đặt kết quả dưới số bị chia:


Lưu ý: ta đặt các số hạng dưới tương ứng số mũ của biến, do đó \(4x\) đặt dưới \(5x\), khi đó việc thực hiện phép trừ mới chính xác.

Bước 3: Trừ số bị chia cho \(2x^3+4x\) ta có:


Bước 4: Lặp lại quá trình chia với số bị chia mới là \(-x^2+x-3\).


Ta thấy đa thức còn lại là \(x-1\) có bậc là \(1\) nhỏ hơn bậc của đa thức chia (bằng \(2\)) nên phép chia có dư, \(x-1\) gọi là số dư.

\((2x^3-x^2+5x-3)=(x^2+2)(2x-1)+x-1\) 

Chú ý:

Người ta chứng minh được rằng, với hai đa thức tùy ý \(A\)\(B\) của cùng một biến (\(B \neq 0\)), tồn tại duy nhất một cặp đa thức \(Q\)\(R\)  sao cho \(A=B.Q+R\), trong đó \(R\) bằng \(0\) hoặc bậc của \(R\) nhỏ hơn bậc của \(B\) (\(R\) được gọi là dư trong phép chia \(A\) cho \(B\)).

Khi \(R=0\) phép chia \(A\) cho \(B\) là phép chia hết.