Lý thuyết: Tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức

💠 Định nghĩa [edit]

Ví dụ 1: 


Ta thấy hai tỉ số \( \dfrac{1}{3}\) và \( \dfrac{2}{6}\) ở hình vẽ trên bằng nhau.

Khi đó ta nói \( \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}\) là một tỉ lệ thức.

🎯 Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).

Tỉ lệ thức \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) còn được viết là   \(a:b=c:d\).

Trong đó:

\(a, b, c, d\) được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức

\(a\)\(d\) là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ

\(b\)\(c\) là các số hạng trong hay trung tỉ

Ví dụ 2:

Từ hai tỉ số \( \dfrac{1}{5}\) và \( \dfrac{4}{20}\) ta lập được một tỉ lệ thức.

Thật vậy, chia cả tử và mẫu của tỉ số \( \dfrac{4}{20}\) cho \(4\) ta có:

\( \dfrac{4}{20}=\dfrac{4:4}{20:4}=\dfrac{1}{5}\)

Do vậy ta có tỉ lệ thức \( \dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{20}\)\( \square\)

Ví dụ 3:

Xét hai tỉ số \( \dfrac{3}{7}\) và \( \dfrac{9}{30}\).

Ta có: 

\( \dfrac{9}{30}=\dfrac{9:3}{30:3}=\dfrac{3}{10}\)

Hai phân số \( \dfrac{3}{7}\)\(\dfrac{3}{10}\) đều tối giản và \( \dfrac{3}{7} \neq \dfrac{3}{10}\).

Do đó hai tỉ số \( \dfrac{3}{7}\) và \( \dfrac{9}{30}\) không thể lập thành một tỉ lệ thức. \( \square\)


💠 Tính chất [edit]

🔸 Tính chất 1

\( \boxed{ \text{ Nếu }  \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \text{ thì } ad=bc\ \ \  }\)

Chứng minh:

Xét tỉ lệ thức \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).

Nhân cả hai tỉ số của tỉ lệ thức với \(bd\) ta được:

\( \dfrac{a}{b}.bd=\dfrac{c}{d}.bd\)

Rút gọn mẫu số ta có:

\(ad=bc\). \( \square\)

Ví dụ 4:

Trở lại Ví dụ 3, để kiểm tra hai tỉ số \( \dfrac{3}{7}\) và \( \dfrac{9}{30}\) có lập thành tỉ lệ thức không, ta có thể sử dụng Tính chất 1.

Ta thấy: \(3.30=90 \neq 63=7.9\)

Do đó hai tỉ số này không thể lập thành một tỉ lệ thức.\( \square\)

🔸 Tính chất 2

\( \boxed{ \text{      Nếu } ad=bc \text{ và } a, b, c, d \neq 0 \text{ thì ta có các tỉ lệ thức:} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d},\ \  \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d},\ \  \dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a},\ \ \dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}\ \  }\)

Chứng minh:

Do tính tương tự, ta chỉ cần chứng minh cho một tỉ lệ thức.

Từ đẳng thức \(ad=bc\), ta sẽ chứng minh tỉ lệ thức thứ hai \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\).

Thật vậy, do các số đều khác \(0\), chia cả hai vế của đẳng thức \(ad=bc\) cho tích \(dc\) ta được:

\(\dfrac{ad}{dc}=\dfrac{bc}{dc}\)

Rút gọn tử số và mẫu số ta có:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\).\( \square\)

🔸 Tổng quát:

Từ hai tính chất ở trên, ta rút ra được nhận xét sau:

Với \(a, b, c, d \neq 0\), từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại: 

\( \boxed{  \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d},\ \  \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d},\ \  \dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a},\ \ \dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}\ \  \ \ , ad= bc}  \)

Ví dụ 5:

Tìm giá trị của \(x\) để có tỉ lệ thức sau:


Giải:

Ta có tỉ lệ thức \(\dfrac{x}{-2}=\dfrac{-21}{6}\) nếu giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện:

\(x.6=(-2).(-21)\)

hay

\(x=42:6=7\)

Vậy giá trị cần tìm là \(x=7\).\( \square\)