Lý thuyết: Tỉ lệ thức
Tỉ lệ thức
💠 Định nghĩa [edit]
✍ Ví dụ 1:
Ta thấy hai tỉ số \( \dfrac{1}{3}\) và \( \dfrac{2}{6}\) ở hình vẽ trên bằng nhau.
Khi đó ta nói \( \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}\) là một tỉ lệ thức.
🎯 Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).
Tỉ lệ thức \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) còn được viết là \(a:b=c:d\).
Trong đó:
\(a, b, c, d\) được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức
\(a\) và \(d\) là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ
\(b\) và \(c\) là các số hạng trong hay trung tỉ
✍ Ví dụ 2:
Từ hai tỉ số \( \dfrac{1}{5}\) và \( \dfrac{4}{20}\) ta lập được một tỉ lệ thức.
Thật vậy, chia cả tử và mẫu của tỉ số \( \dfrac{4}{20}\) cho \(4\) ta có:
\( \dfrac{4}{20}=\dfrac{4:4}{20:4}=\dfrac{1}{5}\)
Do vậy ta có tỉ lệ thức \( \dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{20}\). \( \square\)
✍ Ví dụ 3:
Xét hai tỉ số \( \dfrac{3}{7}\) và \( \dfrac{9}{30}\).
Ta có:
\( \dfrac{9}{30}=\dfrac{9:3}{30:3}=\dfrac{3}{10}\)
Hai phân số \( \dfrac{3}{7}\) và \(\dfrac{3}{10}\) đều tối giản và \( \dfrac{3}{7} \neq \dfrac{3}{10}\).
Do đó hai tỉ số \( \dfrac{3}{7}\) và \( \dfrac{9}{30}\) không thể lập thành một tỉ lệ thức. \( \square\)
💠 Tính chất [edit]
🔸 Tính chất 1
\( \boxed{ \text{ Nếu } \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \text{ thì } ad=bc\ \ \ }\)
Chứng minh:
Xét tỉ lệ thức \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).
Nhân cả hai tỉ số của tỉ lệ thức với \(bd\) ta được:
\( \dfrac{a}{b}.bd=\dfrac{c}{d}.bd\)
Rút gọn mẫu số ta có:
\(ad=bc\). \( \square\)
✍ Ví dụ 4:
Trở lại Ví dụ 3, để kiểm tra hai tỉ số \( \dfrac{3}{7}\) và \( \dfrac{9}{30}\) có lập thành tỉ lệ thức không, ta có thể sử dụng Tính chất 1.
Ta thấy: \(3.30=90 \neq 63=7.9\)
Do đó hai tỉ số này không thể lập thành một tỉ lệ thức.\( \square\)
🔸 Tính chất 2
\( \boxed{ \text{ Nếu } ad=bc \text{ và } a, b, c, d \neq 0 \text{ thì ta có các tỉ lệ thức:} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d},\ \ \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d},\ \ \dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a},\ \ \dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}\ \ }\)
Chứng minh:
Do tính tương tự, ta chỉ cần chứng minh cho một tỉ lệ thức.
Từ đẳng thức \(ad=bc\), ta sẽ chứng minh tỉ lệ thức thứ hai \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\).
Thật vậy, do các số đều khác \(0\), chia cả hai vế của đẳng thức \(ad=bc\) cho tích \(dc\) ta được:
\(\dfrac{ad}{dc}=\dfrac{bc}{dc}\)
Rút gọn tử số và mẫu số ta có:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\).\( \square\)
🔸 Tổng quát:
Từ hai tính chất ở trên, ta rút ra được nhận xét sau:
Với \(a, b, c, d \neq 0\), từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại:
\( \boxed{ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d},\ \ \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d},\ \ \dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a},\ \ \dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}\ \ \ \ , ad= bc} \)
✍ Ví dụ 5:
Tìm giá trị của \(x\) để có tỉ lệ thức sau:
Giải:
Ta có tỉ lệ thức \(\dfrac{x}{-2}=\dfrac{-21}{6}\) nếu giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện:
\(x.6=(-2).(-21)\)
hay
\(x=42:6=7\)
Vậy giá trị cần tìm là \(x=7\).\( \square\)