Lý thuyết: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

💠 Tỉ lệ thức [edit]

Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).

Tỉ lệ thức \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) còn được viết là   \(a:b=c:d\).

Trong đó:

\(a, b, c, d\) được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức.

\(a\)\(d\) là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ.

\(b\)\(c\) là các số hạng trong hay trung tỉ.

Ví dụ 1:

Từ hai tỉ số \( \dfrac{1}{5}\) và \( \dfrac{4}{20}\) ta lập được một tỉ lệ thức.

Thật vậy, chia cả tử và mẫu của tỉ số \( \dfrac{4}{20}\) cho \(4\) ta có:

\( \dfrac{4}{20}=\dfrac{4:4}{20:4}=\dfrac{1}{5}\)

Do vậy ta có tỉ lệ thức \( \dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{20}\)\( \square\)

Ví dụ 2:

Hai tỉ số \( \dfrac{3}{7}\) và \( \dfrac{9}{30}\) không thể lập thành một tỉ lệ thức.

Thật vậy: 

\( \dfrac{9}{30}=\dfrac{9:3}{30:3}=\dfrac{3}{10}\)

Hai phân số \( \dfrac{3}{7}\)\(\dfrac{3}{10}\) đều tối giản và \( \dfrac{3}{7} \neq \dfrac{3}{10}\).

Do đó hai tỉ số \( \dfrac{3}{7}\) và \( \dfrac{9}{30}\) không thể lập thành một tỉ lệ thức. \( \square\)


💠 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau [edit]

🔸 Tính chất 1:

\( \boxed{\ \ \ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\ \ \ \ \ (b \neq d \text{ và } b \neq -d)\ \ \  }\)

Chứng minh:

Đặt \(k= \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

Khi đó: \(a=k.b,\ \ c=k.d\)

Ta sẽ chứng minh hai tỉ số sau cũng bằng \(k\).

Thay các giá trị \(a\)\(c\) vừa rút ra vào hai tỉ số sau ta được:

\(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{k.b+k.d}{b+d}=\dfrac{k.(b+d)}{b+d}=k\),     \((b+d \neq 0)\)

\(\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{k.b-k.d}{b-d}=\dfrac{k.(b-d)}{b-d}=k\),     \((b-d \neq 0)\)

Vậy các tỉ số trên đều bằng nhau, hay ta có điều phải chứng minh. \(\square\)

🔸 Tính chất 2 (mở rộng của Tính chất 1):

Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa, ta có

\( \boxed{\ \ \ \text{ Từ tỉ số bằng nhau } \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f} \text{ ta suy ra:} \\ \ \ \ \ \  \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dfrac{a+c+e}{b+d+f}=\dfrac{a-c+e}{b-d+f}\ \ \ }\)

Chứng  minh:

Ta chỉ cần chứng minh mở rộng cho tỉ số thứ ba, tỉ số còn lại hoàn toàn tương tự.

Từ tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), theo Tính chất 1 ta suy ra được:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\)

Đặt \(m=a+c, \ \ n=b+d\)

suy ra \(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{m}{n}\)

Ta lại áp dụng Tính chất 1 cho tỉ lệ thức \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{e}{f}\). Khi đó:

\(\dfrac{m}{n}=\dfrac{e}{f}=\dfrac{m+e}{n+f}=\dfrac{a+c+e}{b+d+f}\) (thay lại giá trị đã đặt của \(m\)\(n\))

Vậy \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dfrac{a+c+e}{b+d+f}\).

Tỉ lệ thức cuối được chứng minh tương tự. \(\square\)

🔸 Các đại lượng tỉ lệ

Khi có dãy tỉ số \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{8}\),  ta nói các số \(a, b, c\) tỉ lệ với các số \(3; 5; 8\).

Ta cũng viết:    \(a:b:c=3:5:8\).


💠 Ý nghĩa tỉ lệ [edit]

Tỉ lệ cho biết tương quan về khối lượng/trọng lượng/thể tích... của các thành phần trong một hỗn hợp.

Hỗn hợp bê tông được tạo thành bằng cách trộn xi măng, cát, đá và nước.

Hỗn hợp bê tông Mac \(200 kg/cm² \) (hay \(20 MPa\)) có tỉ lệ   xi măng : cát : đá    \(=\ \ \ \ \ 1 : 4 : 6\)

Điều đó có nghĩa là: Để trộn bê tông theo chuẩn này, ta cần có tỉ lệ: \(1\) bao xi măng \(50\ kg\) trộn với \(4\) thùng cát và \(6\) thùng đá.

Ví dụ 3: 

Một công nhân cho \(12\) thùng đá vào máy trộn. Hỏi để có được bê tông Mac \(200 kg/cm² \), người công phân phải đổ thêm bao nhiêu bao xi măng và bao nhiêu thùng cát?

Giải:

Hỗn hợp bê tông Mac \(200 kg/cm² \) (hay \(20 MPa\)) có tỉ lệ  xi măng : cát : đá    \(=\ \ \ 1 : 4 : 6\)

Để dễ hiểu, ta đặt các tỉ lệ theo bảng sau:

Một cách đơn giản, ta thấy lượng đá cho vào gấp đôi lượng tiêu chuẩn là \(6\), do đó để đúng tỉ lệ tiêu chuẩn, lượng xi măng và cát cũng phải gấp đôi. Từ đó ta cần có \(2\) bao xi măng và \(8\) thùng cát