Lý thuyết: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Để rút gọn biểu thức chứa có chứa căn bậc hai, ta có thể:

  • Thực hiện các phép biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai nhằm làm xuất hiện các căn thức đồng dạng, từ đó thực hiện các phép tính cộng, trừ các căn thức đồng dạng.
  • Phối hợp thực hiện các phép tính với các biểu thức có dạng phân thức mà tử và mẫu có chứa căn thức bậc hai theo quy tắc thực hiện các phép tính về phân thức đại số.

Một số dạng bài tập


Dạng 1. Rút gọn biểu thức chỉ có cộng, trừ căn thức. [edit]

Phương pháp:

  • Thực hiện một hoặc nhiều các phép biến đổi: đưa thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn, khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn, trục căn thức ở mẫu.
  • Thực hiện cộng trừ các căn thức đồng dạng theo công thức:

\(m\sqrt{A}+n\sqrt{A}-t\sqrt{A}+u=(m+n-t)\sqrt{A}+u\)

Với biểu thức \(A \geq 0\)\(m,\ n,\ t,\ u \in \mathbb{R}.\)

Ví dụ 1 (Click vào đây để xem) Thực hiện phép tính: \(5\sqrt{12}-6.\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{75}.\)

Ví dụ 2 (Click vào đây để xem) Rút gọn biểu thức sau: \(5\sqrt{2x}+\sqrt{8x}+x\sqrt{\dfrac{18}{x}}+\sqrt{50}\) với \(x>0\).


Dạng 2. Rút gọn biểu thức có chứa các phép cộng, trừ, nhân, chia căn thức dưới dạng phân thức đại số [edit]

Phương pháp:

  • Xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa rồi rút gọn biểu thức.
+) \(\sqrt{A}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow A \geq 0. \)     
+) \(\dfrac{1}{A}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow A \neq 0.\)
+) \(\dfrac{1}{\sqrt{A}}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow A>0.\)

  • Vận dụng các quy tắc trong biến đổi phân thức đại số, kết hợp với các phép biến đổi căn thức để đưa biểu thức đã cho về dạng đơn giản nhất.


Dạng 3. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức [edit]

Phương pháp:

  • Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa rồi rút gọn biểu thức.
+) \(\sqrt{A}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow A \geq 0. \)     
+) \(\dfrac{1}{A}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow A \neq 0.\)
+) \(\dfrac{1}{\sqrt{A}}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow A>0.\)

  • Kiểm tra giá trị của biến có thỏa mãn điều kiện không.
  • Trong trường hợp giá trị của biến thỏa mãn điều kiện, thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn để tính.
Ví dụ 3 (Click vào đây để xem) Tính giá trị của biểu thức \(A=\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\) khi \(x=64.\)

Dạng 4. Rút gọn, tìm giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị cho trước [edit]

Phương pháp

  • Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa rồi rút gọn biểu thức.
  • Từ giá trị của biểu thức đã cho, lập phương trình hoặc bất phương trình giải ra tìm giá trị của biến.
  • Kiểm tra điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Ví dụ 4 (Click vào đây để xem) Cho biểu thức \(A=\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}.\) Tìm \(x\) để \(A=-\dfrac{1}{4}.\)


Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức [edit]

a) Tìm giá trị nhỏ nhất \((GTNN)\) của biểu thức \(A.\) (với A là đa thức hoặc phân thức đại số không chứa biến ở mẫu)

Phương pháp

  • Tìm điều kiện xác định của biểu thức (nếu có)
  • Biến đổi biểu thức về dạng \(A=[h(x)]^2+a,\) trong đó \(a\) là một hằng số.
  • Nhận xét:

Ta có \([h(x)]^2 \geq 0,\) với mọi \(x\)

Suy ra \(A=[h(x)]^2+a \geq a,\) với mọi \(x\)

Do đó \(GTNN\) của \(A\) bằng \(a\) khi và chỉ khi \(h(x)=0.\)

  • Giải phương trình \(h(x)=0\) tìm \(x.\)
  • Kiểm tra điều kiện của \(x\) và kết luận.

Ví dụ 5 (Click vào đây để xem) Tìm \(GTNN\) của biểu thức \(A=x-2\sqrt{x}+7.\)

b) Tìm giá trị lớn nhất \((GTLN)\) của biểu thức \(B.\) (với B là đa thức hoặc phân thức đại số không chứa biến ở mẫu)

Phương pháp: 

  • Tìm điều kiện xác định của biểu thức (nếu có)
  • Biến đổi biểu thức về dạng \(B=-[g(x)]^2+b,\) trong đó \(b\) là một hằng số.
  • Nhận xét:

Ta có \(-[g(x)]^2 \leq 0,\) với mọi \(x\)

Suy ra \(B=-[g(x)]^2+b \leq b,\) với mọi \(x.\)

Do đó \(GTLN\) của \(B\) bằng \(b\) khi và chỉ khi \(g(x)=0.\)

  • Giải phương trình \(g(x)=0\) tìm \(x.\)
  • Kiểm tra điều kiện của \(x\) và kết luận.

Ví dụ 6 (Click vào đây để xem) Tìm \(GTLN\) của biểu thức  \(B=-x+\sqrt{x}+2.\)

Để tìm \(GTNN\)\(GTLN\) của một phân thức đại số (chứa biến ở mẫu) ta thường sử dụng phương pháp chia tử cho mẫu, tìm giá trị nghịch đảo hoặc cũng sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Bất đẳng thức Cô-si: Với hai số \(a,\ b\) không âm, ta có:

\(a+b \geq 2\sqrt{a.b}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b.\)

Ví dụ 7 (Click vào đây để xem) Tìm \(GTNN\) của biểu thức \(C=\dfrac{x+5\sqrt{x}+13}{\sqrt{x}+1}.\)


Dạng 6. Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức nhận giá trị nguyên [edit]

Phương pháp: Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P\) nhận giá trị nguyên.

  • Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu có)
  • Biến đổi biểu thức về dạng \(P=f(x)+\dfrac{a}{g(x)},\) với \(a\) là hằng số; \(f(x),\ g(x)\) là các đa thức với hệ số nguyên.
  • Nhận xét: Vì \(x\) nguyên nên \(f(x)\) nguyên. Do đó để \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(\dfrac{a}{g(x)}\) nhận giá trị nguyên. Tức là \(a\) chia hết cho \(g(x)\) hay \(g(x)\) là ước của \(a.\)

  • Cho \(g(x)\) lần lượt nhận các giá trị ước của \(a\) rồi tìm \(x.\)
  • Kiểm tra điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Ví dụ 8 (Click vào đây để xem)Tìm \(x\) nguyên để biểu thức \(P=\dfrac{5\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}\) nhận giá trị nguyên.


Dạng 7. Tìm \(x\) để biểu thức nhận giá trị nguyên [edit]

Phương pháp: Tìm \(x\) để biểu thức \(P\) nhận giá trị nguyên.

  • Đánh giá \(P\) sao cho \(a \leq P \leq b.\)
  • Nhận xét: Khi đó vì \(P\) nhận giá trị nguyên nên \(P\) nhận các giá trị nguyên nằm trong khoảng từ \(a\) đến \(b.\)

  • Thay lần lượt các giá trị nguyên của \(P\) ở trên để tìm \(x.\)
  • Kiểm tra điều kiện của \(x\) và kết luận.
Ví dụ 9 Tìm \(x\) để biểu thức \(P=\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}\) nhận giá trị nguyên.